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Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Dammkrone, Fassungsvermögen, Wasserinne

lisa2344 aktiv_icon

16:41 Uhr, 10.02.2016

Hallo :-)
ich habe bis morgen die Aufgabe diese Matheaufgabe vorzustellen: (siehe Skizze)

Das Querschnittsprofil eines

400 m

langen Kanals kann durch

f (x) = 2 x e^{- 0,25} x^{2}

(das

x^{2}

ist auch hochgesetzt wie das

- 0,25)

modelliert werden.

(0 = < x = < 5;

1LE=1m)

Hinweis:(e^-0,25x^2)'=

- 0,5 x e^{- 0,25} x^{2}

1)

Wie hoch ist die Dammkrone?
hier hab ich die 1. Abl.=0 gesetzt und bin auf

x 1 = -

wurzel aus 2 und

x 2 =

wurzel aus 2

\to

die erste Lsg. entfällt hierbei, weil es nicht im Intervall liegt.

Dann habe ich die 2. Lösung mit der 2. Abl getestet und bin auf einen hochpunkt gekommen ..durch einsetzen in die 3. Abl. kam ich dann auf ein

y = 1,7 m

Die Dammkrone ist

1,7 m

hoch.
Ist diese Lösung richtig?...es scheint mir fast bisschen wenig..

Wie breit ist die Wasserrine?
dabei dachte ich, dass man den Abstand der beiden hochpunkte (da die funktion in dem intervall ja achsialsymmetrische ist) berechnet, oder?
leider wusste ich jedoch nicht wie man das berechnen soll

\frac{:}{}

2)

Zeige, dass

F (x) = - 4 e^{- 0,25} x^{2}

(auch hier ist das

x^{2}

mit hochgesetzt) eine Stammfunktion von

f

ist
die aufgabe konnte ich lösen :-)

3)

Berechnen Sie das maximale Fassungsmögen des Kanals
hier hab ich leider nicht so wirklich ahnung ...ist da das Volumen gesucht oder?...
und wenn ja wie berechnet man das denn bei einer derartigen funktion

: (

4)

Der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigung von 40°. Kann man den Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone befahren?
Hier habe ich die 2. Abl.

= 0

gesetzt, weil eine Fkt ja im Wendepunkt den steilsten Anstieg hat. Ich kam hier auf

x = 0 x =

wurzel aus minus 6 und x=wurzel aus 6

x 1

und

x 2

fällt dabei weg wegen dem intervall. Also habe ich wurzel aus 6 getestet mit der 3. Abl. und kam auch einen Wendepunkt der bei x=wurzel aus 6.

Die erste abl. = dem Anstieg also hab ich

m

an der Stelle x=wurzel aus 6 berechnet und kam auf

- 4 e^{- 1,5}

m = tan α

und so kam ich auf -41,7°.. aber warum denn minus? Das ist mir iwie unschlüssig...habe ich mich verrechnet?

Wäre lieb von euch, wenn ihr mir sehr schnell antworten würdet..Danke im Voraus für die Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Eva88 aktiv_icon

16:46 Uhr, 10.02.2016

Ich habe für die Höhe

1,72

raus.

lisa2344 aktiv_icon

16:47 Uhr, 10.02.2016

ja genau, okay super :-)

Eva88 aktiv_icon

16:52 Uhr, 10.02.2016

Breite der Wasserrinne: Meine Skizze ist nicht achsensxmmetrisch, sondern punktsymmetrisch.

Ist den

2 x \cdot e^{- 0,25 x^{2}}

richtig?

lisa2344 aktiv_icon

16:52 Uhr, 10.02.2016

Kann vllt auch jemand bei dem Rest helfen? :-)

lisa2344 aktiv_icon

16:54 Uhr, 10.02.2016

ja ist richtig

. .

. eigentlich ist sie ps aber durch das intervall wird nur der eine arm verwendet und der gespiegelt damit sich der kanal ergibt (siehe Skizze) weßt du wie?

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16:54 Uhr, 10.02.2016

Laut deiner Skizze ist die Breite die Entfernung der beiden Hochpunkte.
Also

2 \sqrt{2}

lisa2344 aktiv_icon

16:56 Uhr, 10.02.2016

So dachte ich das eben auch und kam aus

2,8 m

aber mir schien das iwie zu leicht um richtig zu sein :-D)

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16:57 Uhr, 10.02.2016

3)

Volumen des Kanals. Berechne erstmal den Flächeninhalt von 0 bis

\sqrt{2}

mit der vorgegebenen Stammfunktion. Brauchst ja nur einsetzen.

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16:58 Uhr, 10.02.2016

Habe ich auch,

2,82 m

lisa2344 aktiv_icon

17:01 Uhr, 10.02.2016

da komme ich auf

- 4 e^{- 0,5} + 4

also etwa

1,57

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17:04 Uhr, 10.02.2016

Habe ich auch. Jetzt suchen wir aber das Gegenstück von dem Rechteck, dass von 0 bis

\sqrt{2}

geht und

1,72

hoch ist. Also die Fläche des Rechtecks bestimmen und die

1,5739

abziehen. Dann mal 2 nehmen, wegen der anderen Seite und dann nach mall der

400 m

lisa2344 aktiv_icon

17:11 Uhr, 10.02.2016

also ich habe für das rechteck

2,43 m^{2}

(wurzel aus 2 mal

1,72)

raus.
dann diese

2,43 - 1,57 = 0,8 (

Meter oder quadratmeter ?) das mal 2 ist

1,72

und mal die

400 = 686,9

(sind das dann Kubikmeter)

und wenn dann muss man die noch in liter umrechnen oder?

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17:12 Uhr, 10.02.2016

Gut, habe ich auch.

1 m^{3} = 1000

Liter.

lisa2344 aktiv_icon

17:14 Uhr, 10.02.2016

ich komme auf

686856

Liter

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17:17 Uhr, 10.02.2016

Ja ist richtig. Ich habe mit

\sqrt{2}

gerechnet und

686840

raus. Deine Steigung ist auch richtig. Das Minuszeichen kommt dadurch zustande, das der WP rechts neben dem HP liegt. Da ist die Steigung negativ.

lisa2344 aktiv_icon

17:20 Uhr, 10.02.2016

Okay das freut ...Dass der WP rechts liegt verstehe ich, aber warum ist der Anstieg da negativ? das ist mir iwie ein Rätsel

Eva88 aktiv_icon

17:25 Uhr, 10.02.2016

Wenn eine Grade hauptsächlich vom ersten zum dritten Quadranten verläuft, ist

m > 0,

wenn sie vom zweiten zum vierten verläuft, dann ist

m < 0

. Leg doch an den WP ein Lineal an, dann siehst du das die Grade fällt. Auf der anderen Seite steigt sie dort, von daher ist es egal. Es geht nur um den Winkel.

lisa2344 aktiv_icon

17:28 Uhr, 10.02.2016

Ahh jetzt verstehe ich das, ich danke dir für deine großartige und vor allem schnelle Hilfe :-) Das war sehr lieb und jetzt kann ich entspannt in den morgigen Tag starten

\cdot - \cdot

Schönen abend wünsche ich dir :-)

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17:29 Uhr, 10.02.2016

Keine Ursache. Dann schließ die Frage bitte.

lisa2344 aktiv_icon

18:03 Uhr, 10.02.2016

Ich habe doch noch eine Frage.. wie kommt man denn auf die 1. Abl? bzw wie lautet diese?
Ich habe die mit meinem CAS Rechner gemacht und jetzt versucht die per hand nach zu rechnen, aber leider bekomme ich das nicht hin

\frac{:}{}

Eva88 aktiv_icon

18:29 Uhr, 10.02.2016

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0,25 x^{2}}

f' (x)

mit der Produktregel

f' (x) = u' \cdot v + u \cdot v'

u = 2 x

u' = 2

v = e^{- 0,25 x^{2}}

v' = - 0,5 x \cdot e^{- 0,25 x^{2}}

f' (x) = (2 \cdot e^{- 0,25 x^{2}}) + (2 x \cdot - 0,5 x \cdot e^{- 0,25 x^{2}})

f' (x) = (2 \cdot e^{- 0,25 x^{2}}) + (- x^{2} \cdot e^{- 0,25 x^{2}})

f' (x) = e^{- 0,25 x^{2}} (2 - x^{2})

lisa2344 aktiv_icon

18:39 Uhr, 10.02.2016

Ah ja klar, die Produktregel ..

Ist die 2. Abl dann

e^{- 0,25} x^{2} (- 3 x + 0,5 x^{3})

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18:47 Uhr, 10.02.2016

Ja stimmt, habe ich auch.

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18:51 Uhr, 10.02.2016

aber wenn man in die 2. abl das

x

für wurzel aus 2 einsetzt (um zu testen ob es ein Hochpunkt ist) kommt man ja auf 0 ...demnach muss man nochmal mit der 1. Abl. testen oder?

lisa2344 aktiv_icon

18:55 Uhr, 10.02.2016

ah nein hab mein fehler gefunden ..man kommt auf rund

- 1,72

oder?

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18:57 Uhr, 10.02.2016

Nein, Notw. Bed. für einen Extremwert

f' (x) = 0,

hinr. Bed.

f'' (x) < > 0

lisa2344 aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.02.2016

ich dachte man setzt

f 1 (x) = 0

und da hatten wir ja wurzel aus 2 raus :-)
Dann hab ich mit der 2. Abl geteste und kam auf die

- 1,72

(rund ) und das ist ja kleiner als 0 und demnach ein Hochpunkt?

Eva88 aktiv_icon

19:01 Uhr, 10.02.2016

Ja ist richtig.

Erstmal

f'' (x) < > 0

dann ist es ein Extremalwert.

Dann die Unterscheidung,

< 0

dann HP,

> 0

dann TP.

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19:14 Uhr, 10.02.2016

Jetzt bereitet mir nur noch die 3. Abl. Probleme.. dort hab ich wieder die Produktregel verwendet, aber das wird iwie total kompliziert dadurch

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19:19 Uhr, 10.02.2016

Kümmere ich mich gleich drum, so in einer halben Stunde.

lisa2344 aktiv_icon

19:20 Uhr, 10.02.2016

alles klar :-)

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20:17 Uhr, 10.02.2016

f' (x) = e^{- 0,25 x^{2}} (2 - x^{2})

f'' (x) = (- 0,5 x) (e^{- 0,25 x^{2}} \cdot (2 - x^{2})) + e^{- 0,25 x^{2}} (- 2 x)

f'' (x) = e^{- 0,25 x^{2}} (0,5 x^{3} - x) + e^{- 0,25 x^{2}} (- 2 x)

f'' (x) = e^{- 0,25 x^{2}} (0,5 x^{3} - 3 x)

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20:19 Uhr, 10.02.2016

f''' (x) = e^{- 0,25 x^{2}} (- 0,25 x^{4} + 3 x^{2} - 3)

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20:22 Uhr, 10.02.2016

also

u = e^{- 0,25} x^{2}

u' = - 0,5 e^{- 0,25} x^{2}

v = - 3 x + 0,5 x^{3}

und

v' = - 3 + 1,5 x^{2}

dann hab ich das versucht zusammen zu schreiben und zu lösen, aber iwo hab ich da einen fehler drinne..

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20:27 Uhr, 10.02.2016

Ich poste dir mal die Komplettlösung.

Eva88 aktiv_icon

20:29 Uhr, 10.02.2016

Dein

u'

ist falsch. Es muss

- 0,5 x \cdot e^{...}

heißen. Versuch es nochmal selber.
Dann vergleichen wir später.

lisa2344 aktiv_icon

20:36 Uhr, 10.02.2016

Hab sie rausbekommen :-)

Kommst du dann bei dem teyr von wurzel aus 6 auf rund

1,34

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20:37 Uhr, 10.02.2016

test meine ich

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20:45 Uhr, 10.02.2016

Schreib mal deine dritte Ableitung auf.

lisa2344 aktiv_icon

20:48 Uhr, 10.02.2016

ich habe

e^{- 0,25} x^{2} (3 x^{2} - 0,25 x^{4} - 3)

und dann überall für

x

wurzel aus 6 eingesetzt
und da kam ich auf

6 e^{- 1,5}

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20:50 Uhr, 10.02.2016

Wieso

\sqrt{6}

? Was willst du denn mit der Dritten Abl. machen?

lisa2344 aktiv_icon

20:51 Uhr, 10.02.2016

Den wendepunkt testen?
hab die 2. abl

= 0

gesetzt und wollte dann mit der 3. gucken ob wés wirklich einer ist

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20:55 Uhr, 10.02.2016

Kannst du dir schenken, mal ein Tipp: Mit

f' (x)

berechnest du alle Stellen, wo die Steigung 0 ist. Würdest du dann einen WP rausbekommen, wäre er ein besonderer WP, nämlich ein SP. Da aber in der ersten Abl. kein WP rauskommt, bleibt nur ein WP übrig.

lisa2344 aktiv_icon

20:57 Uhr, 10.02.2016

achso verstehe ..gut dann sind jetzt alle fragen geklärt, danke nochmal :-)

Eva88 aktiv_icon

20:58 Uhr, 10.02.2016

Ok, dann schließe bitte die Frage.

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