Kaninchenaufgabe

Hi

Für die Fibonacci Folge gibt es folgende Formel:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

mit ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1}$ und ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=1}$

n wäre dann die Anzahl Monate

Gruss lajao

n+2;n;n+1 sollten eigentlich alle tiefgestellt sein???

Hab's eigentlich mit Formeleditor erstellt

edit: Hab den Math Player noch nicht installiert sry

OK. Statt ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1}$und ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=1}$ wäre wahrscheinlich ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1}$und ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=1}$ besser, denn im zweiten Monat müssen es ja schon 2 sein

Käme auf die Folge an. Bei Fibonacci gibt es keinen, denn sie startet bei 1 und strebt ja gegen unendlich.

Ich kenne nur die mathematische Definition des Goldenen Schnitts:

${\displaystyle \frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Wie man davon aber auf die exakte Zahl kommt, ist mir nicht ganz klar

Bin mittlerweile weiter (=

Wenn man die obige Gleichung nach x auflöst, erhält man für x:

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\sqrt{5}+1}{2}}$ resp. ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\sqrt{5}+1}{2}}$

Die rechte Lösung kann ich ignorieren, da dann x oder a negativ sein müssten.

dividiere ich durch a, erhalte ich das Verhältnis der beiden Seiten, die im Goldenen Schnitt zueinander liegen.

Hab mich vielleicht ein wenig wirr ausgedrückt (passiert öfters...)

resp. sollte eigentlich für respektiv stehen..

Ich kann sonst den Rechenvorgan kurz reinschreiben:

${\displaystyle \frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ (Definition des Goldenen Schnitts) *x*u Ich habe übrigens a mit u ersetzt, da später nochmals ein a vorkommt und diese dann leicht verwechselt werden könnten.

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2 \\ -\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2 \\ {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=0} \end{gathered}$$Nun kann ich die Lösunsformel für quadratische Gleichungen verwenden.

Lösunsformel:${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=\frac{-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\pm \sqrt{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ wenn ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

In diesem Fall wäre:

a=1

b=u

${\displaystyle \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Das setze ich ein:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=\frac{-\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\pm \sqrt{{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4*1*(-{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)}}{2*1}=\frac{-\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\pm \sqrt{5{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}{2}=\frac{-\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\pm \sqrt{5}*\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}=\frac{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\pm \sqrt{5}-1)}{2}}$ Das ${\displaystyle \pm }$ kann ich durch ein + ersetzen, da sonst der gesamte Ausdruck bei positivem u negativ würde. Dies darf nicht sein, da x nicht negativ sein kann.

So erhalte ich für x:

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\sqrt{5}-1)}{2}}$ Dies kann ich durch u dividieren (:u)

${\displaystyle \frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ Rechnest du den rechten Ausdruck aus, so erhältst du die Zahl für das Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt.