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Kann jemand die Legendre-Polynome berechnen?

Schüler

Tags: Differentialgleichung, Legendre-Polynom

Specter aktiv_icon

02:37 Uhr, 18.08.2015

Hallihallo Leute!

Folgendes: Ich habe Probleme die Legendre Polynome herzuleiten.. zB bei

P 2 (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)

und

P 3 (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x)

Es hängt wohl vor allem mit dem Term

\frac{d^{n}}{{d x}^{n}}

zusammen... denn schließlich bedeutet

\frac{d}{d x}

ja nach

x

ableiten und da steht dann normalerweise ein (fx) hinten dran, so wie bei Integration ein

d x

. Also müsste ja eigentlich das dahinter abgelitten werden, zB bei

P 2 (x)

das

{(x^{2} - 1)}^{2}

(Kettenregel) Ich weiß da einfach nicht wie ich da rechnen soll mit dem Exponenten

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

-Wolfgang-

02:56 Uhr, 18.08.2015

[P 2 (x)]' = [\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot x^{2} - 1)}^{2}]' = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (3 \cdot x^{2} - 1) \cdot 6 \cdot x = 6 \cdot x \cdot (3 \cdot x^{2} - 1)

Stell dir vor:

u = 3 \cdot x^{2} - 1

\frac{1}{2} \cdot u^{2}

leitest du dann ab, als wäre das

u

ein

x :

\to \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot u = u

(noch falsch!)

Weil das

u

aber eine Funktion von

x

ist, musst du das Ergebnis mit der inneren Ableitung

u'

multiplizieren. Genau das ist die Kettenregel

[f (g (x))]' = f' (g (x)) \cdot g' (x)

Also:

[\frac{1}{2} \cdot u^{2}]' = u \cdot u'

- - - -

Natürlich kannst du die Klammer auch ausmultiplizieren und ohne Kettenregel ableiten!

Gruß Wolfgang

Specter aktiv_icon

17:51 Uhr, 18.08.2015

hmm... jaa also das war ja immer äuere Ableitung mal die innere Funktion mal di einnere Ableitung..

Das ist hie rdie Langrange Formel:

\frac{1}{2^{n} \cdot n!} \cdot \frac{d^{n}}{{d x}^{n}} [{(x^{2} - 1)}^{n}]

wenn man jetzt 2 für

P 2 (x)

einsetzt wmpsste dann das Polynom rauskommen.

Also nochmal für langsame :-D)

Es wäre ja erstmal:

\frac{1}{2^{2} \cdot 1 \cdot 2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} {[x^{2} - 1)}^{2}] = \frac{1}{8} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} [{(x^{2} - 1)}^{2}]

Ich weiß nicht wie ich diese Differentialgleichung berechnen kann. Das ist ja so ähnlich wie die Wellengleichung

\frac{d^{2}}{d^{2} x} . .

. Ich kann da seinfach nicht!

Es muss jedenfalls rauskommen:

\frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)

ledum aktiv_icon

19:12 Uhr, 18.08.2015

Hallo
das ist eigentlich keine DGL, du musst doch nur

f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}

die 2 te Ableitung bilden, nichts anderes bedeutet

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} (f (x)) = f'' (x)

in anderer Schreibweise
vielleicht ist es einfacher erst

{(x^{2} - 1)}^{2}

auszumultiplizieren.
Gruß ledum

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