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Kann jemand diese Aufgabe lösen ?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Definitionslücken, Funktion, Konkav, konvex, relative Extrema

Lou2311 aktiv_icon

13:37 Uhr, 19.09.2018

Gegeben ist die reelle Funktion

y = f (x) = 2 x^{2} - 9 x + \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}

(bruch)
A. Definitionslücken bestimmen. Wie verhält sich

f

in ihrer Nähe? Nullstellen bestimmen
B. Lage und Art der relativen Extrema bestimmen
C. In welchem Bereichen ist

f

konvex bzw konkav? Wie verhält sich

f

für

x

gegen unendlich bzw -unendlich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Atlantik aktiv_icon

13:56 Uhr, 19.09.2018

Sieht die Funktion so aus:

1) f (x) = 2 x^{2} - 9 x + \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}

oder so:

2) f (x) = \frac{2 x^{2} - 9 x + 9}{{(x - 1)}^{2}}

mfG

Atlantik

B I L D :

abakus

14:37 Uhr, 19.09.2018

Hallo Lou2311,
wieso stellst du eine Frage aus dem Grundkurs Mathematik Kl. 11 im Studentenforum?
Bzw. warum stellst du eigentlich nur den Text einer Aufgabe ein, ohne deine konkrete Frage dazu anzugeben?

Lou2311 aktiv_icon

15:33 Uhr, 19.09.2018

Entschuldigung habe die klammern vergessen ..
Die Funktion sieht aus wie 2.

abakus

15:44 Uhr, 19.09.2018

- lokale Extremstellen mit Hilfe der ersten Ableitung finden
(Hast du die erste Ableitung schon aufgestellt?)
- Art der Extremstelle mit Hilfe der zweiten Ableitung ermitteln
(Hast schon zweimal abgeleitet?)

Jetzt kommt dein Einsatz...

gilgamesch4711 aktiv_icon

16:38 Uhr, 19.09.2018

" Hallo Freunde "
" Hallo Lou . "

Kommt meine Anspielung an; oder hast du die

\Rightarrow

Gnade der späten Geburt? Oder um es mit dem geflügelten wort zu sagen

" Hast du ' Hallo Freunde ' gerufen, dass sich Abacus mit ' Hallo Lou ' zu Wort meldet? "

Scher dich nicht an den Miesepeter Abacus. Damals im alten Summeristan und Produktistan, wo wir noch mit dem Abacus rechneten, gab es das Sprichwort

" Was kümmert es den Gilgamesch, wenn sich der Abacus an der Eiche des

\Rightarrow

Humbaba wälzt? "

Die Määnzer behaupten ja steif und fest, der habe damals Humba Täterää geheißen

. .

.

Die Diskussion vor allem einer gebrochen rationalen Funktion ( GRF ) hat einer ganz festen Ordnung zu folgen. Wie du weißt, wird Ordnung benotet.

A)

Definitionsbereich bestimmen; wir haben den Doppelpol

x_{p}_1; 2 = 1

. ( Die unter Punkt

A,

arabisch Alfa, vermerkte Zusatzfrage wird aus gegebenem Anlass vertagt. )

Gleich als nächstes wechseln wir zu Punkt

C,

asymptotisches Verhalten. Für

| x | \Rightarrow \infty

hast du parabolisches Verhalten

f_asym

(x) = 2 x

- 9 x (1)

Und jetzt nochmal zurück zu Punkt

A,

die Nullstellen. Wegen der unübersichtlichen Klammerei habe ich mir erlaubt, wolfram zu Hilfe zu rufen:

2 x^{4} - 13 x

+ 20 x

- 9 x + 9 = 0 (2 a)

Was nun gibt es über Polynom

(2)

nützliches zu wissen? Vor allem erstmal die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) die schonmal Schneisen im Dschungel schlägt.
( Als Physiker in der Diplomprüfung Nebenfach

\Rightarrow

Galoisteorie kommte ich eine Eins Plus ergattern, ohne je von dieser CV gehört zu haben. )
Gleich für

x < 0

brettert die CV auf einen Entartungsfall; hier wie soll denn eine Summe aus fünf positiven Termen je Null werden? Dagegen für positive

x

hast du ja die Signatur

(+; -; +; -; +) (2 b)

Also vier Wurzeln? Oder vielleicht doch nur zwei? Oder etwa gar keine? Hier hüllt sich die CV in viel sagendes sibyllinisches Schweigen.
Wovon dein Lehrer nach menschlichem Ermessen noch nie gehört hat:

\Rightarrow

Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Als rationale Wurzeln von

(2 a)

ließe der SRN höchstens halbzahlige Wurzeln zu bzw. ganzzahlige Teiler der 9 . Daher sind Wolframs Lösungen in jedem Falle " kaputt " und irrational

(max

Zeichen )

gilgamesch4711 aktiv_icon

17:43 Uhr, 19.09.2018

Lou du hältst mich nur unnötig auf - siehst du doch. In der selben Zeit könnte ich schon längst weiter sein; gib dir dochmal ein bissele Mühe. Brüche schreibt man, indem man auch den Zähler in Klammern setzt.
Im Übrigen nutzt dir die Frage von Atlantik gar nix; du siehst doch, dass hier keiner ein Bock hat - ja Abacus wird sogar frech.
Ich bin hier der einzige, der was für dich tut - also stell dicvh gut mit mir.
Jetzt berechnen sich die Nullstellen aus einer quadratischen Gleichung ( QG )

Hier den SRN hatten wir ja schon. Aber hier polemisiere ich immer gegen die Jahrtausendfälschung von Wiki et al. , der Entdecker des SRN sei Gauß. Wäre dies tatsächlich der Fall, so wäre ich bedeutend schlauer als Opa Gauß. Denn noch in jener Woche des Jahres

2011,

als ich

(

in dem fossilen Internetportal Lycos ) vom SRN erfuhr, entdeckte ( und bewies ) ich folgenden

Z e r l e g u n g s s a t z

= = = = = = = = = = =

Sei

g (x) := a_{2} x

+ a_{1} x + a_{0} = 0 (2.1 a)

a_{2} = 2; a_{1} = (- 9); a_{0} = 9 (2.1 b)

ein primitives Polynom und

x_{1}; 2

seine Wurzeln

x 1; 2 = : \frac{p 1; 2}{q 1; 2} \in ℚ (2.1 c)

Wie üblich seien die Bruchdarstellungen

(2.1 c)

als gekürzt voraus gesetzt. Dann gelten die beiden Gilgamesch pq_Formeln - und pq_Formeln sind wichtig; das weißt du

p 1 p 2 = a_{0} = 9 (2.2 a)

q 1 q 2 = a_{2} = 2 (2.2 b)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Wegen

(2.2 b)

erwarten wir zwingend eine

h a l b z a h l i g e

so wie eine

g a n z z a h l i g e

Wurzel. Aber bei der 9 haben wir rein kombinatorisch ja drei Möglichkeiten. Da ist zunächst die triviale Zerlegung

9 = 1 \cdot 9,

wobei sich immer noch die Frage stellt: Schlagen wir die 9 den Halben oder den Ganzen zu? Und dann gibt es ja noch die Zerlegung

9 = 3 \cdot 3

.
Letztere ist die einzig mögliche.
Weil nämlich ggt

p_{1}; 2 = 3

.
Woher weiß ich jetzt das schon auf einmal wieder?
Max Zeichen; immer wenn's am Spannendsten ist

. .

Atlantik aktiv_icon

18:17 Uhr, 19.09.2018

Nullstellen:

Hier nun der altbewährte Weg über die quadratische Ergänzung.

2 x^{2} - 9 x + 9 = 0

x^{2} - \frac{9}{2} x = - \frac{9}{2}

x^{2} - \frac{9}{2} x + {(\frac{- \frac{9}{2}}{2})}^{2} = - \frac{9}{2} + \frac{81}{16}

{(x - \frac{9}{4})}^{2} = \frac{9}{16}

x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3

x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

mfG

Atlantik

gilgamesch4711 aktiv_icon

18:52 Uhr, 19.09.2018

Ach und eh dass ich's vergess. In

(2.2 a)

hast du ja ein zweideutiges Vorzeichen, weil ja " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt. Aber das Standard Kochrezept kennst du ja schön: CV .

" Zwei Mal Plus. "

0 < x_{1} < x_{2} (3.1)

Wie war das jetzt mit dem ggt? Sei

m

ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von Vieta in ( 2.1ab )

m | p_{1}; 2 \Leftrightarrow m | a_{1}; m

| a_{0} (3.2 a)

Ein

m,

das die rechte Seite von

(3.2 a)

befriedigt, möge K_Teiler des Polynoms

g \in (2.1 a)

heißen

- K

wie " Koeffizient " Der größte K_Teiler ist dann selbst redend der gkt

-

in unserem Falle offenbar 3 . Die Behauptung in

(2.1 a)

ggt

p_{1}; 2 =

gkt

(g) (3.2 b)

Wir haben demnach eindeutig gefunden

x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = 3

.
Ist dies schon ein Beweis?
Wenn das Wörtchen Wenn nicht wär.
Wer sagt uns, dass unsere eingangs getroffene Annahme

(2.1 c)

überhaupt zutrifft? Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist nur Vieta

p

. Auch ich bedarf jetzt der Normalform von ( 2.1ab )

x

- p x + q = 0 (2.3 a)

p = q = \frac{9}{2} (2.3 b)

Vieta ist dann die Aussage

p = x_{1} + x_{2} (2.3 c);

ok

Vielleicht sollte ich es schon hier bemerken.
Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH.
Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST.
Aktion Bremer Stadtmusikanten

" Etwas Besseres als die QR werden wir überall finden. "

( Wieder

max

Zeichen )

Atlantik aktiv_icon

19:25 Uhr, 19.09.2018

Nun die Ableitung mit der Quotientenregel:

[\frac{2 x^{2} - 9 x + 9}{{(x - 1)}^{2}}]

= \frac{(4 x - 9) \cdot {(x - 1)}^{2} - (2 x^{2} - 9 x + 9) \cdot 2 \cdot (x - 1) \cdot 1}{{[{(x - 1)}^{2}]}^{2}} =

= \frac{(4 x - 9) \cdot (x - 1) - (2 x^{2} - 9 x + 9) \cdot 2}{{(x - 1)}^{3}} = \frac{4 x^{2} - 13 x + 9 - 4 x^{2} + 18 x - 18}{{(x - 1)}^{3}} =

= \frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{3}}

mfG

Atlantik

abakus

20:47 Uhr, 19.09.2018

"Ich bin hier der einzige, der was für dich tut - also stell dicvh gut mit mir."

Da kann ich nur sagen: Wer solche Helfer hat, braucht keine Feinde.

Matheboss aktiv_icon

10:32 Uhr, 20.09.2018

...und lou2311 hat schon keine Lust mehr sich das Gelabere von gilgamesch anzuhören.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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