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Kann jemand folgende Betragsungleichung lösen?

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsungleichung, Bruch

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22:29 Uhr, 19.11.2018

Für welche reelen Zahlen

x

gilt:

\frac{| x + 3 |}{6 - x} > \frac{1}{2}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

22:42 Uhr, 19.11.2018

| x + 3 |

ist stets

\geq 0 \Rightarrow 6 - x > 0 \Rightarrow x < 6

\Rightarrow

| x + 3 | > \frac{6 - x}{2}

. .

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22:49 Uhr, 19.11.2018

Mein Lösungsansatz war so:

x

ungleich 6

\Leftrightarrow x > 6

vereinigt mit

\frac{| x + 3 |}{6 - x} > \frac{1}{2}

oder

x < 6

vereinigt mit

\frac{| x + 3 |}{6 - x} > \frac{1}{2}

\Leftrightarrow x > 6

vereinigt mit

| x + 3 | < \frac{1}{2} \cdot (6 - x)

oder

x < 6

vereinigt mit

| x + 3 | > \frac{1}{2} \cdot (6 - x)

und jetzt müsste man ja eine Fallunterscheidung machen oder?

Respon

22:51 Uhr, 19.11.2018

x

kann nicht

> 6

sein.

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22:52 Uhr, 19.11.2018

wieso nicht?

Respon

22:56 Uhr, 19.11.2018

\frac{| x + 3 |}{6 - x} > \frac{1}{2}

Für

x > 6

wäre der linke Bruch eine negative Zahl, und die kann nicht größer als

\frac{1}{2}

sein.

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22:57 Uhr, 19.11.2018

Okay stimmt, danke. Also lass ich das weg und rechne wie weiter?

Respon

22:59 Uhr, 19.11.2018

Du machst hier weiter:

x < 6

\Rightarrow | x + 3 | > \frac{1}{2} \cdot (6 - x)

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23:04 Uhr, 19.11.2018

Also der 1. Fall:

x + 3 > \frac{1}{2} (6 - x) \to x < 0

2. Fall:

- (x + 3) > \frac{1}{2} (6 - x) \to x > 0

oder?

Respon

23:05 Uhr, 19.11.2018

Oder ?
leider nein.

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23:06 Uhr, 19.11.2018

Wie rechne ich dann weiter?

Respon

23:08 Uhr, 19.11.2018

Du hast Rechenfehler gemacht. Bessere die aus.

x + 3 > \frac{1}{2} \cdot (6 - x) \Rightarrow . .

- (x + 3) > \frac{1}{2} \cdot (6 - x) \Rightarrow . .

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23:16 Uhr, 19.11.2018

okay habe jetzt 1. Fall:

x > 0

und 2. Fall:

x < - 4

raus

Stimmt das?

Respon

23:17 Uhr, 19.11.2018

1. Fall : Du musst auch berücksichtigen, dass

x < 6

gilt.
2. Fall : nein

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23:29 Uhr, 19.11.2018

Kannst du mir bitte zeigen wie man das rechnet? Komme gerade nicht drauf

Respon

23:33 Uhr, 19.11.2018

1. Fall

x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3 \Rightarrow x + 3 > \frac{1}{2} \cdot (6 - x) \Rightarrow x > 0

In Verbindung mit der Voraussetzung

x < 6 \Rightarrow 0 < x < 6

2.Fall

x + 3 < 0 \Rightarrow x < - 3 \Rightarrow - (x + 3) > \frac{1}{2} \cdot (6 - x)

- 2 \cdot x - 6 > 6 - x

- x > 12

x < - 12

Lösung:

0 < x < 6

oder

x < - 12

. .

. und offline

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23:44 Uhr, 19.11.2018

Vielen Dank!! Ist damit die Rechnung zu Ende?

Atlantik aktiv_icon

11:11 Uhr, 20.11.2018

Alternative:

\frac{| x + 3 |}{6 - x} > \frac{1}{2} |^{2}

\frac{x^{2} + 6 x + 9}{36 - 12 x + x^{2}} > \frac{1}{4}

x^{2} + 6 x + 9 > 9 - 3 x + \frac{1}{4} x^{2}

\frac{3}{4} x^{2} + 9 x > 0

x \cdot (\frac{3}{4} x + 9) > 0

x_{1} > 0

aber

x_{1} < 6,

weil Pol bei

x = 6

x_{2} < - 12

(- \infty, - 12)

(0,6)

mfG

Atlantik

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11:32 Uhr, 20.11.2018

Ich würde zuerst

\frac{1}{2}

nach links bringen. Dann Fallunterscheidung.

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23:06 Uhr, 20.11.2018

Vielen Dank euch! :-)

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06:19 Uhr, 21.11.2018

Bitte abhaken. :-)

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