Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kann man das für einfachen?

Kann man das für einfachen?

Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe

Tags: Vereinfachen von Brüchen

Harryson1 aktiv_icon

22:59 Uhr, 21.09.2024

Wie kann ich diesen Bruch noch weiter vereinfachen? Ist das überhaupt möglich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Roman-22

00:47 Uhr, 22.09.2024

Ja, der ganze Ausdruck lässt sich noch mächtig zu

\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 - x} = \frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2}}}

vereinfachen.

Der Nenner des zweiten Bruches könnte einen an einen Ausdruck wie

a^{2} - a \cdot b + b^{2}

denken lassen und da könnte man sich an die binomische Formel

a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a^{2} - a \cdot b + b^{2})

erinnern.

Mit

a = 1

und

b = x^{\frac{1}{3}}

wird daraus

1 + x = (1 + x^{\frac{1}{3}}) \cdot (1 - x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})

.

Es könnte sich also lohnen, den zweiten Bruch mit

(1 + x^{\frac{1}{3}})

zu erweitern!

KL700 aktiv_icon

08:46 Uhr, 22.09.2024

Du könntest die Klammer ausmultipliziren.
Beim 1. Summanden fällt

1 + x

weg und es steht dann

1 - x

im Nenner

@Roman:
"da könnte man sich an die binomische Formel a^3+b^3=(a+b)⋅(a^2-a⋅b+b2) erinnern."

Wer kommt auf diese Idee bei diesen Termen? Mit

{(a + b)}^{3}

haben die Meisten schon Probleme, wenn
keine Bruchexponenten vorkommen.
Für einen Schüler der

10

. Klasse ist das ziemlich heftig in meinen Augen.
Bewundernswert, dass du das sofort gesehen hast. Solche Formeln werden gewöhnlich schnell vergessen und sind selten, oder ?
Du sagst ja selber "könnte sich erinnern".
Ich bin überzeugt, daran würden auch manche Studenten scheitern.

Sukomaki aktiv_icon

10:59 Uhr, 22.09.2024

Am einfachsten ist es wohl mit Substitution, da es sich bei Brüchen im Exponenten leicht verrechnet.

Ich setze also

z := x^{\frac{1}{6}}

.

Aus

(\frac{x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}{1 + x} + \frac{1 - x^{\frac{1}{6}}}{1 - x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}}) \cdot \frac{1 + x}{1 - x}

wird

(\frac{z - z^{2}}{1 + z^{6}} + \frac{1 - z}{1 - z^{2} + z^{4}}) \cdot \frac{1 + z^{6}}{1 - z^{6}} =

(Gleichnamig machen der Nenner)

\frac{(z - z^{2}) (1 - z^{2} + z^{4}) + (1 - z) (1 + z^{6})}{(1 + z^{6}) (1 - z^{2} + z^{4})} \cdot \frac{1 + z^{6}}{1 - z^{6}} =

(Ausmultiplizieren)

\frac{z - z^{3} + z^{5} - z^{2} + z^{4} - z^{6} + 1 + z^{6} - z - z^{7}}{(1 + z^{6}) (1 - z^{2} + z^{4})} \cdot \frac{1 + z^{6}}{1 - z^{6}} =

(Kürzen mit

1 + z^{6}

in Zähler und Nenner)

\frac{z - z^{3} + z^{5} - z^{2} + z^{4} - z^{6} + 1 + z^{6} - z - z^{7}}{1 - z^{2} + z^{4}} \cdot \frac{1}{1 - z^{6}} =

(Kürzen von

z, - z

und

z^{6}, - z^{6}

)

\frac{1 - z^{2} + z^{4} - z^{3} + z^{5} - z^{7}}{1 - z^{2} + z^{4}} \cdot \frac{1}{1 - z^{6}} =

(dritter Binom)

\frac{1 - z^{2} + z^{4} - z^{3} + z^{5} - z^{7}}{1 - z^{2} + z^{4}} \cdot \frac{1}{(1 - z^{3}) (1 + z^{3})} =

(Distributivgesetz)

\frac{(1 - z^{2} + z^{4}) - z^{3} \cdot (1 - z^{2} + z^{4})}{1 - z^{2} + z^{4}} \cdot \frac{1}{(1 - z^{3}) (1 + z^{3})} =

(Nochmal Distributivgesetz)

\frac{(1 - z^{2} + z^{4}) (1 - z^{3})}{1 - z^{2} + z^{4}} \cdot \frac{1}{(1 - z^{3}) (1 + z^{3})} =

(Kürzen von

1 - z^{3}

und

1 - z^{2} + z^{4}

)

\frac{1}{1 + z^{3}}

Rücksubstituieren ergibt

\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{6}}} = \frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2}}}

oder nach belieben auch

\frac{1}{1 + \sqrt{x}}

.

Ich hoffe, Du kannst meine Umformungsschritte nachvollziehen :-)

Sukomaki

Roman-22

15:02 Uhr, 22.09.2024

@sukomaki

schöner Lösungsweg.

Aber so oder so ist die Aufgabe für die

10

. Schulstufe extrem schwierig, denke ich. Wobei es natürlich auf den vorangegangenen Unterricht ankommt, welche Schwerpunkte da gesetzt wurden und wie intensiv Aufgaben dieser Art 'trainiert' wurden.

Der durchschnittliche (was immer das auch sein mag) Schüler dieser Schulstufe wird vermutlich weder die von mir verwendete binomische Formel 'sehen', noch auf dein zweimaliges Anwenden des Distributivgesetzes kommen.

Übrigens:

>

" (Kürzen von

1 - z 3

und

1 - z 2 + z 4)

"
Das ist nicht "kürzen"! ;-)

Sukomaki aktiv_icon

22:09 Uhr, 22.09.2024

Ja, wie jetzt?

Nicht "kürzen"?

Wie würdest Du die Umformung dann nennen?

Ich kürze den Bruch doch jeweils um

1 - z^{3}

mit

1 - z^{3}

und

1 - z^{2} + z^{4}

mit

1 - z^{2} + z^{4}

.

Sukomaki

Roman-22

22:45 Uhr, 22.09.2024

Sorry, ich hab das falsche deiner Kommentare runterkopiert
Ich meinte

>

Kürzen von

z

,−z und z6,−z6
An dieser Stelle wird nicht "gekürzt", sondern es werden Terme zusammengefasst, es heben sich Terme auf, es 'fallen' Ausdrücke weg,

. .

Sukomaki aktiv_icon

07:38 Uhr, 23.09.2024

Okay, da bin ich bei Dir.

Ich hatte mir schon gedacht, dass Du da etwas durcheinander gebracht hast.

Ich bin schon gespannt, was Harryson1 zu unseren Ausführungen zu sagen hat.

Harryson1 aktiv_icon

20:18 Uhr, 24.09.2024

Hallo Roman-22, KL700 und Sukomaki,

ihr habt meine Frage so schnell und gründlich beantwortet. Vielen Dank für die superschnelle Blitzantwort – ich konnte kaum noch Luft holen, so baff war ich!
Sukomakis Lösungsweg? Wirklich elegant – fast schon wie Mathe-Ballett! Die Aufgabe hat mir übrigens mein Sohn aus der

11

. Klasse aufgegeben. Tja, mit der 10.Klasse - da habe ich mich wohl ordentlich vertan!
Mit meinen

50

Jahren und dem letzten Matheunterricht, der gefühlt noch in der Steinzeit stattfand... war ja klar, dass ich ins Schwitzen komme. Ich hab’s zwar versucht, aber nach einer halben Stunde den Stift hingelegt und war kurz davor, die Aufgabe als Tippfehler abzustempeln!

Vielen Dank an alle – ihr seid spitze!

Harry

Sukomaki aktiv_icon

07:51 Uhr, 25.09.2024

Wahrscheinlich wäre mir der schöne Lösungsweg nicht eingefallen, wenn ich das Ergebnis nicht gekannt hätte.

Da war der Post von Roman-22 vom 22.09.2024, 00:47 hilfreich.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1588005

1587946

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?