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Kartesische- und Kugelkoordinaten Übungsaufgabe

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: kartesische in Kugelkoordinaten, Kugelkoordinaten

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21:39 Uhr, 30.09.2012

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

"Ein gerader Kreiskegel steht symmetrisch zur z-Achse mit der Spitze auf dem Koordinatenursprung. Sein Grundkreisradius sei

1,

seine Höhe Wurzel(3).

A sei die Mantelfläche des Kegels. Stellen Sie die kartesischen Koordinaten der Punkte der Fläche A mit Hilfe von 2 Parametern dar. Verwenden Sie dazu Kugelkoordinaten."

Was Kartesische- und Kugelkoordinaten sind, ist mir bewusst. Die Aufgabenstellung ist mir einfach unklar und ich komme auf keinen Lösungsansatz. Kann mir jemand bei dem Ansatz behilflichsein? Vielen Dank!

LG
Torchlight

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

22:37 Uhr, 30.09.2012

zeichne den Schnitt des Kegels mit der yz-Koordinatenebene (y>=0 und z>=0): dies ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 1 und wurzel(3). Dann ist der Winkel theta (bei den Kugelkoordinaten) für die Punkte des Kegelmantels konstant und es ist tan(theta)=1/wurzel(3) bzw. theta=pi/6 (30°)
Also: 0<=r<=1, 0<=phi<=2pi; theta=pi/6
Kugelkoord:
x=r*sin(theta)*cos(phi)= 0,5*r*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)= 0,5*r*sin(phi)
z=r*cos(theta)= (0,5*wurzel(3))*r
Somit gilt für die Punte des Mantels:
M = {(0,5*r*cos(phi) / 0,5*r*sin(phi) / (0,5*wurzel(3))*r //0<=r<=1, 0<=phi<=2pi }

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08:25 Uhr, 01.10.2012

Hallo Irrsinn07,

vielen Dank für deine Antwort! Eine Sache ist mir da aber noch unklar. Mit den erarbeiteten Formel in Kugelkoordinaten müsste ich mir doch jetzt beispielsweise die Lage der z-Punkte entlang des Mantels bestimmen können: Durch meine yz-Skizze des Kegels sehe ich ja, dass bei

r = 1, z = \sqrt{3}

beträgt. mit

z = r \cdot (0,5 \cdot \sqrt{3})

kann ich diesen Wert aber nicht erreichen, da meine Grenzen von

r

im Bereich

0 \leq r \leq 1

liegen!?

anonymous

10:49 Uhr, 01.10.2012

da hast du völlig Recht - mir ist ein Fehler unterlaufen.
Betrachte die z-Koord.:

\frac{1}{2} \cdot r \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}

führt zu r=2; also

0 \leq r \leq 2

dann gilt sowohl für x als auch für y:

0 \leq x, y \leq 1

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12:04 Uhr, 01.10.2012

Wie kommst du eigentlich darauf, dass

z = 0,5 \cdot r \cdot \sqrt{3}

ist und nicht

z = 0,5 \cdot r

? Ich komme nicht darauf, wie du die

\sqrt{3}

dahin kriegst.

anonymous

13:52 Uhr, 01.10.2012

schau dir doch die z-Koord. an:

0, 5 \cdot \sqrt{3} \cdot r

die Höhe des Kegels ist

\sqrt{3}

daraus ergibt sich der Maximalwert für r

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15:36 Uhr, 02.10.2012

Vielen Dank für deine Hilfe!

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