 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Kathetensatz im Tetraeder + Umkreis Dreieck
Kathetensatz im Tetraeder + Umkreis Dreieck
Universität / Fachhochschule
Tags: Kathetensatz, Umkreis, zentrische Streckung
 
|
  |
|---|
|
Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgenden beiden Aufgaben ( siehe Arbeitsblatt) Aufgabe 1 konnte ich ohne Probleme selber lösen, die Umformung der Aussage auf regelmäßige Tetraeder hat ohne Probleme funktioniert. Bei Aufgabe 2 habe ich aber mehr Probleme. Der Kathetensatz besagt ja, dass die Hypotenuse c in q und p geteilt wird ) jeweils links und rechts vom rechten Winkel) und dann a^2 c*p und b^2 = c*q gilt. Wie soll das ganze denn dann im rechtwinkligen Tetraeder aussehen? Hat das rechtwinklige Tetraeder dann ein rechtw. Dreieck als Grundfläche oder als Seitenfläche? Zu Aufgabe 3: Da muss ich ehrlich gestehen finde ich keinen Anfang..l.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Kathetensatz Strahlensatz und Ähnlichkeit Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
|
 |
|
> (siehe Arbeitsblatt) Beigefügte Bilder dürfen eine Größe von maximal 500 kByte haben. |
 |
|
Danke für den Hinweis, jetzt ist es hochgeladen :-) |
|
|
|
. Zu Aufgabe 3: .............."Da muss ich ehrlich gestehen finde ich keinen Anfang.." dann fang einfach damit an, dich zu erinnern, ob du je davon gehört hast, wie der Umkreismittelpunkt irgend eines Dreiecks konstruiert werden kann.. Und dann kannst du ehrlich gestehen, dass du in deiner Figur die fraglichen Ortslinien tatsächlich einzeichnen konntest und dir daraufhin die Antworten auf die beiden Aufgabenteile direkt klar sichtbar wurden - sogar ohne dass du dich zentrisch strecken musst.. ist das so ? . . |
|
|
|
Hallo, also der Umkreis eines Dreieckes, bzw. der Mittelpunkt des Umkreises liegt im Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Die Seitenhalbierenden liegen auf dem Mittelpunkt der Seite senkrecht drauf. Konstruiert bekomme ich diesen Mittelpunkt ja, indem ich um die Eckpunkte jeweils einen Kreisbogen zeichne ( z.B. um A und B ) und so dann die Mittelsenkrechte der Seite c bekomme, das wiederhole ich dann bei z.B. Seite a und dann habe ich 2 Mittelsenkrechte, und deren Schnittpunkt ist ja dann MP des Umkreises. So kenne ich ja die Konstruktion, doch wie ich das jetzt mit den Kreisen beweise verstehe ich nicht. Das einzige was ich vlt folgern kann, ist das da ja jeder Kreis durch jeweils einen Eckpunkt verläuft und dementsprechend der Schnittpunkt aller 3 Kreise ja ein gemeinsamer Punkt ist. der Abstand von diesem gemeinsamen Punkt zu den den Eckpunkten ist also überall gleich dem Durchmesser des Kreises und folglich der MP des Kreises. Diesen Teil : Durchmesser der einander schneidenden Kreise sind so groß wie der Radius des Umkreises, verstehe ich richtig, dass dann der Durchmesser EINES Kreises im inneren gleich dem Radius des äußeren Kreises ist ? |
|
|
|
Bei 2) ist womöglich folgendes gemeint: Rechtwinkliges Tetraeder bedeutet, dass von einer der vier Ecken ausgehend die drei Kanten jeweils rechtwinklig zueinander stehen. Bei einer Einbettung in ein kartesisches -Koordinatensystem würde man diese Ecke zweckmäßig in den Ursprung legen, während die anderen drei Tetraedereckpunkte dann auf den Koordinatenachsen liegen, je einer auf -, - sowie -Achse - sagen wir , sowie . Was ist nun die Analogie zum Kathetensatz? Fällen wir das Lot von auf die -Ebene, so zerteilt der Lotfusspunkt das Dreieck in drei Teildreiecke , und , und es gilt dabei kennzeichne den Flächeninhalt des entsprechenden Polygons (hier nur Dreiecke). Ob dieser Satz irgendeinen Namen hat, weiß ich nicht - ist aber durchaus denkbar. Summiert man alle drei Gleichungen der obigen Behauptung, so bekommt man mit eine Art Pythagoras-Analogie. Aufgabe 3) kann man übrigens prima bewältigen, indem man die drei kleinen Kreise erklärt als Bilder des ABC-Umkreises im Ergebnis von drei zentrischen Streckungen um die Zentren , jeweils mit Streckungsfaktor . 3b) befasst sich dann mit dem gemeinsamen Schnittpunkt von vier Kugeln, die durch entsprechende zentrische Streckungen aus der Umkugel des Original-Tetraeders entstanden sind. |
|
|
|
Super , vielen lieben Dank für deine Hilfe :-) |
|
|
|
Noch eine Frage zu 3b) 3a habe ich damit ohne Probleme hinbekommen, bzw. formuliert bekommen. Wie sieht es aber jetzt bei den 4 Kugeln im inneren aus. Die können ja keinen Eckpunkt mit dem Tetraeder gemeinsam haben. Ich verstehe, dass die 4 Kugeln aus der Streckung der Umkugel entstanden sind, aber bei 3a hatten Um und Inkreis ja die Eckpunkte gemeinsamen, was ist die Analogie bei den Kugeln? der Schnittpunkt der 4 Kugeln ist ja der MP der Umkugel, aber was muss ich bei der b dann jetzt genau zeigen |
|
|
|
Ich weiß nicht, was du mit "4 Kugeln IM INNEREN" meinst. 3b) In Analogie zum Flächenproblem würde ich bei jedem der vier Eckpunkte folgendes sehen: Man nimmt den Eckpunkt selbst sowie die drei Mittelpunkte derjenigen Tetraederkanten, die auf diesen Eckpunkt treffen, und betrachtet dazu die Kugel, die durch diese vier Punkte verläuft. Nach dem analogen Beweisprinzip wie bei 3a), d.h. zentrische Streckungen mit Faktor , weiß man nun, dass der Mittelpunkt der Umkugel des Ausgangstetraeders auf allen vier kleinen Kugeln liegen muss: Dazu betrachtet man zu Tetraedereckpunkt dessen Punktspiegelung bezogen auf . Wegen gilt dann auch . Die zentrische Streckung mit Faktor sowie Zentrum überführt nun Punkt in , sowie Kugel in die kleine Kugel . Aufgrund von folgt nun der Streckungsoperation wegen dann auch für die Bilder . Analog gilt dann auch , und . Der Beweis folgt damit völlig analog zu dem in 3a). |
|
|
|
Sry, ich hatte nen Denkfehler im Kopf... Ich dachte die Kugeln müssen im inneren liegen, da ich die Aufgabe mit einer anderen verwechselt habe. Jetzt habe ich alles verstanden, danke :-) Eine schöne Weihnachtszeit |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1522372
1522087