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Kegel, Höhe

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richard aktiv_icon

13:22 Uhr, 08.05.2009

hallo alle zusammen!

ich hab da ne frage zu folgender aufgabe:

ein kegelförmiges Gefäß mit dem Radius r=10 cm und der höhe h=7,5 cm wird mit flüssigkeite gefüllt ...wie hoch steht die flüssigkeit wenn die halbe Mantelfläche benetzt ist

also ich hab den ansatz:

\frac{M_{k}}{M_{G}} = 0, 5

und

\frac{x}{7, 5} = \frac{r_{k}}{10}

aber damit komm ich auf nichts rechtes da es drei unbekannte gibt aber nur 2 bedingungen ...kann mir da jmd weiterhelfen ?
oder bin ich komplett auf dem falschen ansatz gelandet ?

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Jackie251 aktiv_icon

13:45 Uhr, 08.05.2009

Versuche es mit folgendem Ansatz:

Die Gleichung für

M

hat als Variablen nur

h

und

r

.
Dein Ziel sollte es sein eine Bedingung zwischen

h

und

r

zu finden (Stichwort Strahlensatz).

Danach kann du die Gleichung für

M

so aufstellen das sie nur von

r

abhängig ist (weil die Neigung des Kegel immer gleich bleibt).

Dann musst du einen Faktor

X

einführen, den du so ausrechnest das

0,5 M

herauskommen.

richard aktiv_icon

17:07 Uhr, 08.05.2009

hm also die Mantelformel kenn ich mit

M = π r s

und s ist bei mir die seitenkante und nicht die höhe
oder gibt es noch eine ?
oder meinst du ich soll mit hilfe von pythagoras einen ausdruck schaffen der nur von h und von r abhängig ist ? also

M = π \cdot r \cdot \sqrt{r^{2} + h^{2}}

????
strahlensatz ansatz hab ich schon ..bringt mir nix
hab ich gemacht
kommt totaler mist bei raus :/

Jackie251 aktiv_icon

18:45 Uhr, 08.05.2009

$M = Π \times r \times \sqrt{r^{2} {+ h}^{2}}$

ist schon der richtige ausgangspunkt!

und das dich der stahlensatz nicht weiterbringt, hmm

stell dir die halbe schnittfläche des Kegel vor:

----------------------

l r/2

h l---------------

l h/2

das bedeutet das verhältnis h/r bleibt konstant!

h und r sind gegeben, daher kannst du eine variable eleminiren

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Jackie251 aktiv_icon

18:51 Uhr, 08.05.2009

die Skizze sollte etwas verständlicher sein ;-)

\frac{r}{h} = \frac{b}{g}

b =

radius bei teilfüllung

g =

höhe der teilfüllung

richard aktiv_icon

19:04 Uhr, 08.05.2009

sry aber ich verstehs immer noch nicht...ich mein du sagst zwar dass der quotient konstant bleibt und das hab ich ja auch aber wir suchen ja die höhe des kegels bei der gewissen eingefüllten höhe ..also kann das ja mit
r/h=b/h gar nicht stimmen ..du verwendest zweimal die gleiche höhe ..das geht doch nicht ?!

richard aktiv_icon

19:05 Uhr, 08.05.2009

ah oke du hast zwei verschiedene höhen gewählt hab grad iwie zwei mal h gelesen
nja trotzdem versteh ichs noch nicht
aber danke

richard aktiv_icon

19:13 Uhr, 08.05.2009

jetzt hab ichs glaub ich ...ich muss mich wohl die ganze zeit verrechnet haben ..,kommt 7,1 cm raus ? davor kam 18 raus..das war unrealistisch ..
kann das jmd nachprüfen ?

Jackie251 aktiv_icon

19:20 Uhr, 08.05.2009

hm also ich kann dir auch die ganze lösung direkt gaben.
aber weil du geschrieben hast du willst nur ein denkanstos, hab ich nicht alles verraten..

ok, einen schritt weiter:

h = 7,5

r = 10

\frac{h}{r}

konstant bleibt egal wie hoch wir den kegel füllen, können wir

h = 0,75 r

festlegen.

eingesetz in die gleichung für

M

ergibt sich

M = π \cdot r \cdot \sqrt{{(0,75 r)}^{2} + r^{2}}

vereinfacht dann

M = 1,25 \cdot π \cdot r^{2}

der nächste schritt ist dann die Überlegung, wir wollen nur

\frac{M}{2}

als Ergebniss, also muss

r^{2}

halb so groß sein (da

1,25

und

π

Konstanten sind).

Also

0,5 \cdot r^{2} = {(x \cdot r)}^{2}

.

und nun ermittelst du X.

Jackie251 aktiv_icon

19:29 Uhr, 08.05.2009

na da du nun fast das ergebniss hast :-)

die auflösung

{(x \cdot r)}^{2} = \frac{r^{2}}{2}

Wurzel ziehen

x \cdot r = \frac{r}{\sqrt{2}}

durch

r

x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,707

damit ergibt sich für die ziel "halbe Mantelfläche benetzt:

r_{t} = 0,707 r = 0,707 \cdot 10 = 7,1

h_{t} = 0,707 h = 0,707 \cdot 7,5 = 5,3

cm

Achtung, die Antwort ist eben

5,3

cm, es ist ja nach der Füllhöhe gefrag

t

nicht nach dem Radius ;-)

richard aktiv_icon

19:32 Uhr, 08.05.2009

AH ja ich hab den radius..aber dann ist die höhe kein problem mehr :-D)
oke vielen dank für deine mühe auch wenn ich nicht immer durchgeblickt hab ..
bin halt einfach zu blöd zum mit taschenrechner rechnen ...aber wie gesagt vielen dank auch nochmal fürs mitausrechnen und überprüfen meiner lösung :-)
dir noch einen schönen abend!

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