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Kegel/ Kegelförmige Gefässe

Schüler Gymnasium,

Tags: 10.klasse, gymnasium, Kegelförmiges Gefäss, Verhältnis

Julilicht aktiv_icon

16:41 Uhr, 05.03.2012

Hallo zusammen

Ich habe gerade mit kegelförmigen Gefässen zu kämpfen...
Ich weiss leider nicht mehr weiter bei dieser Aufgabe:

Zwei Freunde trinken zusammen ein Frappé aus einem kegelförmigen Glas, das

12

cm tief ist.

a .)

Der Erste trinkt bis zur halben Tiefe (also 6cm) und überlässt den Rest seinem Freund. In welchen Verhältniss haben sie geteilt?

b .)

Bis zu welcher Tiefe

t

darf der erste trinken, wenn beide gleich viel erhalten sollen?

Also zu Aufgabe

a .)

Ich weiss dass das Volumen des Kegels

\frac{π \cdot r^{2} \cdot h}{3}

ist.
Nun wollte ich eigentlich das Volumen des ganzen Glases ausrechnen und dann herausfinden, wie gross das Volumen ist, dass der Erste gertunken hat. Dann könnte ich ja das

V

des Glases minus das

V

des Ersten berechnen und hätte so das

V

des Zweiten.. Und dann hätte ich doch das Verhältnis der Volumen anschauen können..so schön war meine Theorie aber das ganze klappt nicht, da ich den Radius

r

nicht kenne. Kann mir jemand bitte helfen und sagen, wie ich vorgehen muss?
Das Resultat ist

7 : 1

Aber ich weiss wirklich nicht, wie man darauf kommt...
ja und bei

b .)

blicke ich gar nicht mehr durch.. vielleicht probiere ich es besser erst, wenn ich

a .)

verstanden habe. Also ich freue mich sehr über alles, über Lösungsansätze, Ratschläge bishin zum Lösungsweg.

Vielen Dank im voraus..!

Eure Juli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Shipwater aktiv_icon

16:47 Uhr, 05.03.2012

a)

ist ja eigentlich ganz einfach. Nach dem Strahlensatz ergibt sich zur Höhe 6 der Radius

\frac{r}{2}

also insgesamt ein Achtel des Gesamtvolumens. Damit hat der erste siebenmal so viel getrunken wie der zweite.

b)

Du hast einen unbekannten Radius

r

und Höhe

12 [c m]

. Malst du in den Ausgangskegel einen weiteren, kleineren Kegel mit Radius

r^{⋆}

und Höhe

h^{⋆}

so folgt nach dem Strahlensatz:

\frac{r}{12} = \frac{r^{⋆}}{h^{⋆}} \Leftrightarrow r^{⋆} = \frac{r}{12} \cdot h^{⋆}

Das Volumen dieses Kegels beträgt also

\frac{π}{3} \cdot {(r^{⋆})}^{2} \cdot h^{⋆} = \frac{π}{3} \cdot \frac{r^{2}}{144} \cdot {(h^{⋆})}^{3} = \frac{π}{432} \cdot r^{2} \cdot {(h^{⋆})}^{3}

Das halbe Volumen vom Ausgangskegel ist

\frac{π}{6} \cdot r^{2} \cdot 12 = 2 π r^{2}

Gleichsetzen ergibt nun folgendes:

\frac{π}{432} \cdot r^{2} \cdot {(h^{⋆})}^{3} = 2 π r^{2}

Wir sehen nun, dass sich

r

rauskürzt! Es ergibt sich schließlich

h^{⋆} \approx 9,52 [c m]

Noch ein Hinweis: Wenn du dich schwer tust mit dem unbekannten Radius, dann setze einfach zum Beispiel

r = 12 [c m]

denn für die Fragestellung ist es letztlich völlig egal wie groß man den Radius wählt.

Julilicht aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.03.2012

Vielen, lieben Dank für die Antwort.
Also bis zu den Strahlensätzen konnte ich folgen... die Zahl

144

und das

h^{3}

kann ich nicht ganz zuorden...aber ich habe die Aufgabe jetzt mit irgendeinem Radius gemacht und es hat geklappt..also Dankeschön! Nun bleibt aber noch das

b .)

Dort sollte doch ein Verhältnis von

1 : 1

sein. Also brauche ich schlussendlich die Gleichung

\frac{h 1}{h 2} = \frac{1}{1},

oder? Naja dann hab ich was mit den Strahlensätzen probiert aber ich komm nicht mehr weiter...Die Antwort ist übrigens

2,48

cm... aber die bringt mich jetzt auch nicht weiter.. hoffe auch ein paar Tipps.. Danke!!

Shipwater aktiv_icon

17:35 Uhr, 05.03.2012

Ich hab doch oben schon

h^{⋆} \approx 9,52 c m

berechnet. Dann darf der erste natürlich bis zu einer Tiefe von

12 c m - 9,52 c m = 2,48 c m

trinken. Was genau verstehst du an meiner Rechnung nicht? Du könntest auch hier einfach mit

r = 12 [c m]

rechnen. Dann ergibt sich mit dem Strahlensatz (siehe Bild) einfach

\frac{12}{12} = \frac{r^{⋆}}{h^{⋆}}

also

r^{⋆} = h^{⋆}

Das macht es nun besonders einfach, weil das Volumen vom unteren Kegel damit

\frac{π}{3} \cdot {(r^{⋆})}^{2} \cdot h^{⋆} = \frac{π}{3} \cdot {(h^{⋆})}^{3}

ist. Und das halbe Volumen vom gesamten Kegel ist ja

\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} \cdot 12^{2} \cdot 12 = 288 π

Gleichsetzen liefert wieder

h^{⋆} \approx 9,52 [c m]

Julilicht aktiv_icon

20:29 Uhr, 06.03.2012

Vielen lieben Dank, ich habe es nun endlich verstanden. Entschuldigung für die erste merkwürdige Rückfrage...ich hatte da ein ziemliches Durcheinander. Danke für die super Antwort..Nun sollte es klappen. Mal sehn, Morgen schleibe ich die Arbeit.

Liebe Grüsse Juli

Shipwater aktiv_icon

21:52 Uhr, 06.03.2012

Viel Erfolg!

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