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Kegel, Oberfläche

Universität / Fachhochschule

Tags: Kegelberechnung, Oberfläche

iLoc-HfT aktiv_icon

11:04 Uhr, 01.03.2010

Ich brauche bitte Hilfe mit folgender Aufgabe:

Der Mantel eines Kegels ist ein Kreisausschnitt mit r=5cm und alpha=240°.
Mit welchem Faktor muss man den Kreisuasschnitt vergrößern, damit ein Kegelmantel mit doppeltem Flächeninhalt entsteht?

Ich danke sehr im Voraus!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

11:20 Uhr, 01.03.2010

Hallo Du Unaussprechliche,

Dein Problem scheint mir nicht eindeutig zu sein.
Die Fläche eines Kreisauschnitts (mit

α

in Grad) ist

A = \frac{α}{360^{0}} \cdot r^{2} \cdot π

Hier sind zwei Parameter frei, nämlich

r

und

α

mit

(~

bedeutet "proportional zu")

A ~ (r^{2}) \Rightarrow (\sqrt{A}) ~ r

A ~ α

iLoc-HfT aktiv_icon

11:24 Uhr, 01.03.2010

Jetzt bin ich noch verwirrter!!

Die Aufgabe ist eigentlich so wie sie im Buche steht :-)

Edddi aktiv_icon

12:54 Uhr, 01.03.2010

...mein Vorredner war schon richtig:

Bei der "Vergrößerung" des Kreisausschnitts bleibt ja der Winkel (240°) konstant.

Somit musst du dein "r" vergrößern. (Was einer Mantellinie des Kegels entspricht)

Die Fläche des Kreises, sowie auch des Kreissegments wächst prportional zum Radius im Quadrat.

A ~ r^{2}

(wie schon mein Vorredner schrieb)

Verdoppelst du beispielsweise den Radius, so wird der Flächeninhalt 4 mal so groß.

Ver-

\sqrt{2}

-fachst du den Radius, wird also die Fläche doppelt so groß.

;-)

funke_61 aktiv_icon

12:56 Uhr, 01.03.2010

Da jetzt so lang keiner mehr was dazu geschrieben hat, schreib ich meine Gedanken dazu:
Das Problem lässt sich am einfachsten lösen, wenn man annimmt, dass sich der Winkel

α

des Kreisausschnitts nicht verändern soll, also

α =

const:

A = \frac{α}{360^{0}} \cdot π \cdot r^{2}

Doppelte Fläche wäre mit

R

als neuem (grösserem) Radius

2 A = \frac{α}{360^{0}} \cdot π \cdot R^{2} | : 2

A = \frac{α}{360^{0}} \cdot π \cdot \frac{R^{2}}{2} |

gleichsetzen mit obiger Original-Formel

\frac{α}{360^{0}} \cdot π \cdot \frac{R^{2}}{2} = \frac{α}{360^{0}} \cdot π \cdot r^{2} | : (\frac{α}{360^{0}} \cdot π)

\frac{R^{2}}{2} = r^{2}

R^{2} = 2 r^{2}

R = \sqrt{2} \cdot r

Also wäre so der gesuchte Faktor

(\sqrt{2})

;-)

Allerdings wäre es ja auch möglich, dass sowohl

α

als auch

r

sich verändern können.

α

kann widerum nicht grösser als

360^{0}

werden, was die Sache zusätzlich kompizierter macht.
Vieleicht ist mit alpha=const das Problem aber auch schon ausreichend betrachtet, denn sonst lässt sich wohl schwer ein entsprechender Faktor finden ;-)
lg josef

funke_61 aktiv_icon

13:12 Uhr, 01.03.2010

Hm, ich glaube so wie Edddi es betrachtet ist es genau richtig. Der Kreisausschnitt wird einfach als Kreisausschnitt vergrössert (also

z . B

. zentrisch gestreckt), damit bleibt der Winkel

α

konstant.
Diese Betrachtung deckt sich auch mit der Aufgabenstellung oben, die ich nicht ausreichend interpretiert habe.
Ich bitte um Entschuldigung, wenn ich Dich unnötig verwirrt habe ;-)
lg josef

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