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Kegel mit minimaler Oberfläche bei festem Volumen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe

Axxel aktiv_icon

20:34 Uhr, 23.05.2012

Guten abend,

ich habe eine neue Frage:

Ich möchte bei einem Kegel mit festem Volumen das Verhältnis von

h

und

r

bestimmen, sodass die Oberfläche minimal wird.
Hierzu habe ich die Oberflächengleichung (Oberfläche ist

O)

für

r

den Term Wurzel(s^2-h^2) eingesetzt, dann die Ableitung

O' (r) = 0

gesetzt und

r

ausgerechnet.

Hier bekomme ich jedoch einen recht komplizierten Term heraus, der sicherlich nicht das richtige Ergebnis ist?

Könnte mir vielleicht jemand die korrekte Rechnung vorrechnen?
Das wär stark :-)
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

22:23 Uhr, 23.05.2012

Welche Formeln genau hast du verwendet ?

Was hast Du wie eingesetzt?

Zeig mal, was Du gemacht hast bis zu der Stelle, wo du nicht weiterkommst.

Axxel aktiv_icon

15:38 Uhr, 24.05.2012

Ich hatte so begonnen:

O= Πr²+Πrs = Π(s²-h²)+Π $\sqrt{s² - h²}$ s

O'(h)= -2Πr²+Πrs- (Πsh)/ $\sqrt{s² - h²}$

O'(h)=0 <=> h=2s/ $\sqrt{s² + 4}$

Nun könnte ich noch für s²=h²+r² und für s die Wurzel davon einsetzen.

Allerdings kommt ein sehr komplizierter Term heraus.

Und nicht das gewünschte Verhältnis von r und h !

Ihr würdet mir sehr helfen, wenn mir jemand den richtigen Lösungsweg vollständnis vorrechnen könnte!

Habt ganz viel Dank!

Axel

Atlantik aktiv_icon

16:06 Uhr, 24.05.2012

Du musst das Volumen mit reinbringen.

Zielfunktion:

O_{K e} (r, s) = Π \cdot r \cdot s + r^{2} \cdot Π

V_{K e} = \frac{1}{3} r^{2} \cdot Π \cdot h

3 \cdot V = r^{2} \cdot Π \cdot h

h = \frac{3 V}{r^{2} \cdot Π}

h = \sqrt{s^{2} - r^{2}}

\frac{3 V}{r^{2} \cdot Π} = \sqrt{s^{2} - r^{2}}

\frac{9 \cdot V^{2}}{r^{4} \cdot Π^{2}} = s^{2} - r^{2}

s^{2} = \frac{9 \cdot V^{2}}{r^{4} \cdot Π^{2}} - r^{2}

s = \sqrt{\frac{9 \cdot V^{2}}{r^{4} \cdot Π^{2}} - r^{2}}

Das

s

nun in die Zielfunktion einsetzen.

mfG

Atlantik

Axxel aktiv_icon

22:42 Uhr, 24.05.2012

Danke erstmal.
Aber wie geht es dann weiter?
Wenn ich den Term für

s

so in die Oberflächengleichung einsetzt, ist diese und besonders auch ihre Ableitung sehr kompliziert und ich komme nicht auf das gewünschte Verhältnis von

r

und

h . .

.
Könnt ihr mir weiterhelfen?

pleindespoir aktiv_icon

23:54 Uhr, 24.05.2012

Kompliziert ist anders ... hier musst Du nur kleine überschaubare Schritte machen und nix verhudeln.

Eher eine Konzentrationsübung.

Axxel aktiv_icon

09:20 Uhr, 25.05.2012

Und wenn man das maximale Volumen bei gleicher Oberfläche ausrechnen will?
Müsste da nich theoretisch das gleiche Ergebnis für

r

rauskommen wie bei minimaler Oberfläche und festem Volumen?
Das ist bei mir nämlich leider nicht so...
Könnte mir vielleicht jemand das ganze vorrechnen?
Danke

Atlantik aktiv_icon

09:40 Uhr, 25.05.2012

Hier lautet die Zielfunktion:

V_{K e} (r, h) = \frac{1}{3} r^{2} \cdot π \cdot h

soll maximal werden

O_{K e} = r^{2} \cdot Π + Π \cdot r \cdot s

O - r^{2} \cdot Π = Π \cdot r \cdot s

s = \frac{O - r^{2} \cdot Π}{Π \cdot r}

s = \sqrt{h^{2} + r^{2}}

\frac{O - r^{2} \cdot Π}{Π \cdot r} = \sqrt{h^{2} + r^{2}}

Nun nach

h

auflösen und in die Zielfunktion einsetzen.

mfG

Atlantik

Axxel aktiv_icon

21:03 Uhr, 25.05.2012

Und was soll als Ergebnis rauskommen ?
Soll in den beiden Rechnungen (Volumen&Oberfläche) nicht das gleiche Ergebnis herauskommen?
Danke!!

pleindespoir aktiv_icon

21:39 Uhr, 25.05.2012

Setz dich halt mal dran und mach die erforderlichen Einsetzungen und Umstellungen. Das ist reine Fleissarbeit und man muss dabei aufpassen, dass man nix vermüllt.

Wenn Du nur schreibst, dass es nicht klappt, kann Dir niemand helfen - poste mal was Du gemacht hast, dann sieht man wo Du Dich vergallopiert hast.

Üblicherweise sind es Trivi-Fehler aus den Grundzügen der Gleichungsbehandlung, die da so schiefgehen. Das Handwerkszeug musst du draufhaben, da hilft nicht, wenn Dir das vorgekatscht wird - geht nur durch selbermachen in die Birne.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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