Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kegel parametrisieren und Oberflächenintegral

Kegel parametrisieren und Oberflächenintegral

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Integration, Kegel, Oberflächenintegral, Parameterdarstellung, Parametrisieren, parametrisierung

Manuel91 aktiv_icon

22:44 Uhr, 27.11.2017

Hey Leute, ich habe leider so meine heile Not mit Parameterdarstellungen...

Folgendes Beispiel:

"Sei

F

die Oberﬂäche des Kegels

K = {(x, y, z) : x 2 + y 2 \leq {(4 - z)}^{2}, 0 \leq z \leq 4}

. Berechnen Sie

\int \int_{F} f

dO und

\int \int_{F} \vec{v}

dO, wobei

f (x, y, z) = x

und

v (x, y, z) = ((0), (0),

(1))"

Erst einmal, das "dO" bei meinem zweiten Integral ist in meiner Eingabe fett gedruckt also nehme ich an, dass ich es ein wenig anders berechnen muss. Bei meinem zweiten Integral verwende ich einfach

v (x, y, z)

und setze die Koordinaten des parametrisierten Kegels (einmal Boden und einmal Mantel) ein und rechne damit weiter, also die grundsätzlichen Schritte beherrsche ich glaube ich. Was ist der Unterschied wenn ich das Integral über die Funktion

f (x, y, z)

bilden muss, wie berechne ich das genau?

Zweitens, zur Parameterdarstellung:

Ich habe meinen Boden des Kegels parametrisiert als

\vec{x \cdot B} = (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 0 \end{matrix})

und meinen Mantel als

\vec{x \cdot M} = (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 4 - r \end{matrix})

. Bitte um Korrektur falls das nicht stimmt.

Dritter Fragepunkt:

Ich glaube zu wissen, dass ich (zumindest beim Boden) das Kreuzprodukt aus

\vec{x \cdot B}

abgeleitet nach

φ

und

\vec{x \cdot B}

abgeleitet nach

r

bilden muss.

Dann habe ich

(\begin{matrix} - r \cdot sin (φ) \\ r \cdot cos (φ) \\ 0 \end{matrix}) x (\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - r \end{matrix})

. Integrationsgrenzen wären bei meinem Boden dann

φ \in [0, 2 \cdot π]

und

r \in [0, 4]

Bevor ich jetzt weitergehe möchte ich allerdings noch wissen wie das bei meinem

\vec{x \cdot M}

aussieht. Bilde ich hier auch das Kreuzprodukt aus

\vec{x \cdot M}

nach

φ

und

\vec{x \cdot M}

nach

r

oder aus

\vec{x \cdot M}

nach

φ

und

\vec{x \cdot M}

nach z? Genauso die Integrationsgrenzen, integriere ich über

d φ

und

d \cdot r

oder über

d φ

und

d \cdot z

? Eine kleine Erklärung diesbzgl. wäre echt toll, Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

ledum aktiv_icon

12:40 Uhr, 28.11.2017

Hallo
du hast doch statt

z r

eingesetzt , also über

r

integrieren, oder

r

durch

z

ersetzen (so hätte ich

M

parametrisiert) und über

z

integrieren . dasselbe für den Normalenvektor
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

14:22 Uhr, 28.11.2017

Ok, eine kurze Zusammenfassung. Meine z-Koordinate des Mantels (also nach meiner Parametrisierung) ist

z = 4 - r,

du sagst also dann muss ich über

r

integrieren und um den Normalenvektor zu erhalten auch nach

d φ

und

d \cdot r

ableiten, richtig?
Würde ich meine z-Koordinate so parametrisieren wie du es gemacht hättest, hätte ich

r = 4 - z

in der untersten Zeile von

\vec{x \cdot M}

und ich würde über

z

integrieren und für meinen Normalenvektor nach

d φ

und

d \cdot z

ableiten. Bitte um kurze Antwort ob ich das richtig verstanden habe oder ob ich das falsch verstehe, Danke!

Manuel91 aktiv_icon

14:23 Uhr, 28.11.2017

Ok, eine kurze Zusammenfassung. Meine z-Koordinate des Mantels (also nach meiner Parametrisierung) ist

z = 4 - r,

du sagst also dann muss ich über

r

integrieren und um den Normalenvektor zu erhalten auch nach

d φ

und

d \cdot r

ableiten, richtig?
Würde ich meine z-Koordinate so parametrisieren wie du es gemacht hättest, hätte ich

r = 4 - z

in der untersten Zeile von

\vec{x \cdot M}

und ich würde über

z

integrieren und für meinen Normalenvektor nach

d φ

und

d \cdot z

ableiten. Bitte um kurze Antwort ob ich das richtig verstanden habe oder ob ich das falsch verstehe, Danke!

ledum aktiv_icon

21:28 Uhr, 28.11.2017

richtig
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

22:28 Uhr, 28.11.2017

Danke! Kannst du mir vielleicht noch kurz erklären wie ich über die Funktion

f (x, y, z) = x

integriere?
Ich weiß, dass ich bei der Integration über das Vektorfeld

\vec{v}

die

x, y

und

z

Koordinate meiner parametrisierten Flächen in das Vektorfeld einsetze und dann das Skalarprodukt mit dem Kreuzprodukt meiner parametrisierten Flächen bilde. Das Ergebnis (einmal für Boden und einmal für Mantel) integriere ich dann in meinen Grenzen.

Wie gehe ich das an wenn ich statt dem Vektorfeld eine Funktion habe?

LG Manuel

Manuel91 aktiv_icon

23:04 Uhr, 28.11.2017

Ich weiß schon wie es geht, Danke :-)

LG

1401952

1401626

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?