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Kegelschnitt: x = (cos(t))^2 & y = cos(t)*sin(t)

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Kegelschnitt, Normalform

Najeb aktiv_icon

03:40 Uhr, 19.01.2018

Hallo,
ich habe eine Aufgabe zu einem Kegelschnitt gegeben:

Der Kegelschnitt lautet

x = {(cos (t))}^{2}

und

y = cos (t) \cdot sin (t)

.
Ich soll nun diesen Kegelschnitt in eine implizite Zordnungsvorschrift umwandeln, die Lage des Kegelschnittes im Koordinatensystem einzeichen und den Kegelschnitt skizzieren.

Das Problem ist, dass ich nichtmal wirklich einen Ansatz habe.
Ich kenne die Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel) und kenne die Normalformen dieser Kegelschnitte. Bei einfachen Aufgaben weiß ich auch, wie ich die Gleichungen in die Normalform überführe (mit quadratischer Ergänzung etc.).

Bitte um Ansatz (wenn es geht auch kompletten Lösungsweg).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

04:18 Uhr, 19.01.2018

Verwende die speziellen Summensätze

x (t) = {cos}^{2} t = \frac{1}{2} \cdot cos (2 t) + \frac{1}{2}

y (t) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 t)

Daraus ist sofort erkennbar, dass es sich um einen Kreis mit dem Radius

\frac{1}{2}

und dem Mittelpunkt

(\frac{1}{2} / 0)

handelt.

Damit sollte auch eine implizite Darstellung leicht zu finden sein.

Xam123 aktiv_icon

18:45 Uhr, 14.07.2019

Kannst du bitte einmal genau erklären woran du den Mittelpunkt und den Radius abliest ?Habe hier eine ähnliche Aufgabe. Mir ist auch nicht so richtig klar woran man erkennen soll wonach man die beiden Funktion umformen muss.
Danke schon mal

HAL9000

14:30 Uhr, 15.07.2019

Basierend auf

\cos^{2} (2 t) + \sin^{2} (2 t) = 1

bekommt man mit Romans Formeln

(2 x - 1)^{2} + (2 y)^{2} = 1

, was durch 4 geteilt zur Kreisgleichung

{(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}

führt. Dabei wird dieser Kreis während eines

t

-Intervalls der Länge

π

genau einmal durchlaufen

Roman-22

16:01 Uhr, 15.07.2019

>

Kannst du bitte einmal genau erklären woran du den Mittelpunkt und den Radius abliest ?
Eine mögliche Parameterdarstellung eines Kreises, die man parat haben sollte, ist:

x (φ) = x_{M} + r \cdot cos (φ)

y (φ) = y_{M} + r \cdot sin (φ)

Dabei ist

r

der Kreisradius und

(x_{M} / y_{M})

der Kreismittelpunkt.
Und jetzt vergleiche mit der vorliegenden Parameterdarstellung.
Dass hier

sin (2 t)

und

cos (2 t)

steht bedeutet nur eine andere Parametrierung (die Kurve wird "schneller" durchlaufen) und ändert nichts an der Kurve selbst.

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