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Kegelschnittgleichungen - Normalenform

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: hauptachsentransformation, Kegelschnittgleichung, Körper, Normalenform

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14:37 Uhr, 05.09.2015

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit Mathe II und unter anderem zählen Kegelschnittgleichungen dazu. Es wäre sehr lieb, wenn ein paar Fragen mir am besten kurz bestätigt/ergänzt werden.
Dabei stütze ich mich auf die Erklärung von www.mathebibel.de/hauptachsentransformation
Leider ist es dort nur für den

R^{2}

erklärt.

a x^{2} + c y^{2} + b x y + d x + e y + f = 0

A = (\begin{matrix} a & \frac{1}{2} b \\ \frac{1}{2} b & c \end{matrix}) b = (\begin{matrix} d \\ e \end{matrix})

c = f

Das ist die Form für Kegelscnittgleichungen der 2. Ordnung, richtig?

Für die 3. Ordnung:

a x^{2} + c y^{2} + {g z}^{3} + b x y + h y z + i x z + d x + e y + j z + f = 0

A = (\begin{matrix} a & \frac{1}{2} b & \frac{1}{2} i \\ \frac{1}{2} b & c & \frac{1}{2} h \\ \frac{1}{2} i & \frac{1}{2} h & g \end{matrix})

b = (\begin{matrix} d \\ e \\ j \end{matrix})

c = f

Meine Schritte wenn ich eine Kegelschnittgleichung 2. oder 3. Ordnung gegeben habe:

1. Überführen in die genannte Matrixschreibweise
2. Charakteristisches polynom berechnen

A = (\begin{matrix} a - λ & \frac{1}{2} b & \frac{1}{2} i \\ \frac{1}{2} b & c - λ & \frac{1}{2} h \\ \frac{1}{2} i & \frac{1}{2} h & g - λ \end{matrix})

3. Erhalte EW und stelle die EV auf und normieren
4.

D = A = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix})

5. Transormationsmatrix mit den normieren EV aufstellen

T = (\begin{matrix} e v_{1} x & e v_{2} x & e v_{3} x \\ e v_{1} y & e v_{2} y & e v_{3} y \\ e v_{1} z & e v_{2} z & e v_{3} z \end{matrix})

6. Matrixgleichung ausmultiplizieren:

((x, y, z)) \cdot D \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) + (d, e, j) \cdot T \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) + f = 0

7. Drehung beendet und der Term

x y z

wurde eliminiert....

Nun beginnt die Verschiebung:

8. Den Term vor

x^{2} y^{2} z^{3}

ausklammern und mit quadratischer Ergänzung erweitern, ausmultiplizieren, binomische Formel anwenden
9. Binome durch

x y z

ersetzen

10

. Fertig und Normalenform erhalten

I. - Ist es so richtig?
II. - gibt es Besonderheiten auf die man achten sollte?
III. - komplexe EW kann ich nicht erhalten oder? (Hinweis, dass ich einen Fehler gemacht habe)
IV. - wenn ich die aufgabe:

- x^{2} - y^{2} + 4 z^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{2} x + 2 \sqrt{2} y + 8 z = 0

ist eine Fläche 2. Ordnung. Transformieren sie die Gleichung auf Normalform und entscheiden Sie sich um welchen Flächentyp es sich handelt.

\Rightarrow

Hinweis, dass es

R^{2}

ist, weil 2. Ordnung steht also "Verfahren" für

R^{2}

. Die werte

4 y^{2}

und

8 y

sind nur zur Verwirrung?! :-P)

V. Zudem kommen immer Fragen dran um was für einen Typen es sich handelt oder, dass man ein

α

bestimmen soll, dass ein Typ entsteht. Beispiel:
Es sei die Fläche

3 y^{2} = z^{2} + x

R^{3}

gegeben. Entscheiden sie um welche Flächentyp es sich handelt.

\Rightarrow 0 = x - 3 y^{2} + z^{2}

in Qudrikentabelle nachgucken und dann sehe ich leider keine Glecihung, die für

y

ein negatives Vorzeichen hat.
Wie gehe ich bei diesen Aufgaben vor. Ich denke, dass man es schnell irgendow nachschlagen kann?!
Beispiel

2 :

Die Kegelschnittgleichung

A = (\begin{matrix} - 1 & α \\ α & - 1 \end{matrix})

wird eine Kurve im

R^{2}

beschrieben. Bestimmen sie

α

so, dass es sich um eine Hyperbel handelt.

\Rightarrow

Wie gehe ich vor?

Viele Grüße
Andre

Ich hoffe, dass ihr mir eine kurze Antwort geben könnt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

21:34 Uhr, 05.09.2015

Was sind Kegelschnittgleichungen der 3. Ordnung? :-O

DrBoogie aktiv_icon

21:44 Uhr, 05.09.2015

"Hinweis, dass es

ℝ^{2}

ist, weil 2. Ordnung"

Du verwechselst leider Ordnung und Dimension.
Die Gleichung

a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + d x y + e y z + f x z + g x + h y + k z + l = 0

hat die 2. Ordnung, nicht die 3.
Die Ordnung der Gleichung ist einfach der höchste Grad von ihren Summanden.
Die Anzahl der Variablen hat mit Ordnung nichts zu tun. Das nennt man Dimension.

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