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Kegelschnittgleichungen aufstellen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichungen aufstellen, Hyperbel und Ellipse, Koordinatensystem

gmtgmt aktiv_icon

10:14 Uhr, 03.05.2014

Ich bereite mich im Moment auf die Matura vor und bin bei zwei Beispielen auf Probleme gestoßen, die aber gleiche Ursachen haben:

Bsp1:
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage mit den Asymptoten

y = \pm ([\frac{\sqrt{2}}{2}] x)

geht durch den Punkt

((\sqrt{19}),3)

a)

Gib die Gleichung der Hyperbel an

Bsp2:
Eine Ellipse geht durch die Punkte

P (- 2,2 \cdot (\sqrt{2}))

und

Q (4, - (\sqrt{5}))

Die rechte große Halbachse der Ellipse ist der Durchmesser eines Kreises.

a)

Fertige eine Zeichnung an und bestimme die Gleichungen von Ellipse und Kreis

Bsp1:
Hier bin ich auf das Problem gestoßen, dass wenn ich a und

b

nach der Formel im Formelheft (Asymptoten

y = \pm (\frac{b}{a}) x)

in die Hyperbelformel der 1. Hauptlage einsetze, die Punkte nicht passen. Daher komme ich gar nicht dazu, weiterzurechnen, da ich die korrekte Gleichung nicht aufstellen kann.

Weiters wird später in dem Beispiel eine Ellipse hinzugefügt und man soll den Winkel, in dem die beiden sich schneiden, berechnen. Ich vermute dass dies durch an die Hyperbel/Ellipse angelegte Tangenten mit der Steigung

f' (x)

der jeweiligen Körpergleichung möglich wäre. Gibt es noch einen anderen, möglicherweise weniger aufwändigen Weg (bitte nur allgemein formulierte Antwort)?

Bsp2:

Wieder stehe ich vor demselben Problem wie in Bsp1, nämlich dass ich aus den angegebenen Punkten keine Gleichung bilden kann: Eigentlich sollte das zwar gehen, weil man für zwei Unbekannte

(a

und

b)

auch zwei Gleichungen (durch die Punkte

P

und

Q)

aufstellen kann, jedoch gelingt es mir nicht b²x²+a²y²=a²b² wenn

x

und

y

gegeben sind so umzuformen, dass ich zB a aus

b

ausdrücken kann oder umgekehrt und es dann im anderen Term einsetzen kann. Wie geht das hier?

Parallel habe ich diese Frage auf diesem Forum gepostet:
http//www.matheforum.net/read?i=1019452

Ich danke bereits im Voraus für jegliche Hilfestellungen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

10:24 Uhr, 03.05.2014

Nun, ich kenne die Formel aus Deinem Heft nicht, aber
die Gleichung der Hyperbel in der ersten Hauptlage ist

x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1

mit den Asymptoten

y = \pm (b / a) \cdot x

.
Und da Du weißt, dass Asymptoten

y = \pm (\sqrt{2} / 2) \cdot x

sind, machst Du vermutlich den Fehler uns schreibst:

b = \sqrt{2}

a = 2

. Das kannst Du nicht, denn das weißt Du nicht, Du weißt nur, dass

b / a = \sqrt{2} / 2

. Richtige Folgerung daraus ist

b = a \cdot (\sqrt{2} / 2)

, mehr weißt Du nicht,

a

bleibt unbestimmt. Und um

a

zu bestimmen, nutzt Du, dass der Punkt

(\sqrt{19}, 3)

zur Hyperbel gehört, davon hast Du die Gleichung

19 / a^{2} - 9 / b^{2} = 1

. Setze da

b = a \cdot (\sqrt{2} / 2)

ein und löse es, dann bekommst Du auch konkrete Werte für

a

und

b

DrBoogie aktiv_icon

10:27 Uhr, 03.05.2014

Bei Ellipse verstehe ich weder wie die Punkte aussehen (schreib sie bitte so, dass man erste und zweite Koordinate unterscheiden kann) noch woher Du die Gleichung

b ² x ² + a ² y ² = a ² b ²

hast.

prodomo aktiv_icon

10:30 Uhr, 03.05.2014

Nur ein Hinweis:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} \cdot x^{2} + a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

Beide Formeln werden je nach Lehrwerk als Gleichung in der Hauptlage bezeichnet.

DrBoogie aktiv_icon

10:32 Uhr, 03.05.2014

Ach so, wieder Hauptlage. Danke für den Hinweis. :-))

gmtgmt aktiv_icon

11:26 Uhr, 03.05.2014

Danke für deine Antwort DrBoogie, sie hat mich sehr weitergebracht! Wie du richtig vermutet hast, habe ich den Fehler gemacht a und

b

aus der Asymptotengleichung einfach abzulesen. Die Punkte habe ich mittlerweile verändert, sodass das

/,

das die Koordinaten trennen soll, nicht versehentlich als Bruchstrich endet.
Wie oben beschrieben habe ich es aber immer noch nicht geschafft, die Hauptgleichung der Ellipse so umzuformen, dass ich die beiden gegebenen Punkte dazu nutzen kann, a aus

b

auszudrücken und

b

zu ermitteln.

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 03.05.2014

OK, wenn wir die Koordinaten der Punkte einsetzen, kommen diese zwei Gleichungen raus:

4 a^{2} + 8 b^{2} = a^{2} b^{2}

und

16 a^{2} + 5 b^{2} = a^{2} b^{2}

.
Ziehen die zweite Gleichung von der ersten ab und bekommen

- 12 a^{2} + 3 b^{2} = 0

, also

12 a^{2} = 3 b^{2} = > b^{2} = 4 a^{2} = > b = 2 a

(weil wir uns nur für positive

a

und

b

interessieren, können wir die Lösung

b = - 2 a

außer Acht lassen).
Jetzt setzen

2 a

für

b

in die Gleichung

4 a^{2} + 8 b^{2} = a^{2} b^{2}

ein und bekommen

4 a^{2} + 8 \cdot 4 a^{2} = a^{2} \cdot 4 a^{2} = > 36 a^{2} = 4 a^{4} = > 36 = 4 a^{2} = > a^{2} = 9 = > a = 3

, weil wie wieder nur

a > 0

suchen. Damit ist

a = 3

b = 6

gmtgmt aktiv_icon

11:34 Uhr, 03.05.2014

Aha :-) Ich habe es immer versucht ohne die Gleichungen voneinander abzuziehen. So lässt es sich also lösen!
Ein ganz großes Dankeschön! Damit sind Beispiele dieser Art mir klar!

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