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Kegelstumpf, Formelableitung Volumen

Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe

Tags: Geometrie

anonymous

22:55 Uhr, 07.12.2005

Ableitung der Formel Volumenberechnung Kegelstumpf

V = 1/3.pi.h.(r1² + r1.r2 + r2²)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

00:01 Uhr, 08.12.2005

Was willst du wissen?

Sven

01:04 Uhr, 08.12.2005

Hallo,

ich gehe davon aus, daß r1 der Radius der Grundfläche und r2 der Radius der oberen Fläche ist und daß die Volumenformel für Kegel als bekannt vorausgesetzt werden darf.

Die Volumenformel für Kegel ist:

V = 1 / 3 * G * h

wobei G die Grundfläche des Kegels ist und h die Höhe.

Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, dem die Spitze, der ebenfalls ein Kegel ist weggeschnitten wurde. Das Volumen eines Kegelstumpfes ergibt sich also aus der Differenz vom "gesamten" Kegelvolumen und dem "abgeschnittenen" Kegelvolumen.

Der "abgeschnittene" Kegel hat die Höhe h', so daß der "gesamte" Kegel die Höhe (h+h') hat. Die Grundfläche G1 des "gesamten" Kegels ergibt sich als pi*r1^2, die Grundfläche G2 des "abgeschnittenen" Kegels als pi*r2^2.

Schneidet man den Kegelstumpf (bzw. den "gesamten" Kegel) an einer Ebene durch die Mittelachse auf, so erhält man eine Abbildung, mit deren Hilfe man (mittels Strahlensatz!) erkennt, daß

h^{'} : (h + h^{'}) = r_{2} : r_{1} = \sqrt{G_{2}} : \sqrt{G_{1}}

Daraus ergibt sich,

h^{'} * \sqrt{G_{1}} = (h + h^{'}) * \sqrt{G_{2}} = h * \sqrt{G_{2}} + h^{'} \sqrt{G_{2}} h^{'} * (\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}) = h * \sqrt{G_{2}} h^{'} = \frac{h * \sqrt{G_{2}}}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}} und h + h^{'} = \frac{h * (\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}})}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}} + \frac{h * \sqrt{G_{2}}}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}} = \frac{h * \sqrt{G_{1}}}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}}

Für das Volumen des Kegelstumpfes ergibt sich also:

V = \frac{1}{3} * G_{1} * (h + h^{'}) - \frac{1}{3} * G_{2} * h^{'} V = \frac{1}{3} * (G_{1} * (h + h^{'}) - G_{2} * h^{'}) V = \frac{1}{3} * (G_{1} * \frac{h * \sqrt{G_{1}}}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}} - G_{2} * \frac{h * \sqrt{G_{2}}}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}}) V = \frac{h}{3} * \frac{G_{1} * \sqrt{G_{1}} - G_{2} * \sqrt{G_{2}}}{\sqrt{G_{1}} - \sqrt{G_{2}}} Durch Erweiterung des Bruches mit (\sqrt{G_{1}} + \sqrt{G_{2}}) erhält man V = \frac{h}{3} * \frac{G_{1}^{2} - G_{2} * \sqrt{G_{1} * G_{2}} + G_{1} * \sqrt{G_{1} * G_{2}} - G_{2}^{2}}{G_{1} - G_{2}} V = \frac{h}{3} * \frac{G_{1}^{2} + G_{1} * \sqrt{G_{1} * G_{2}} + G_{1} * G_{2} - G_{2} * G_{1} - G_{2} * \sqrt{G_{1} * G_{2}} - G_{2}^{2}}{G_{1} - G_{2}} V = \frac{h}{3} * \frac{G_{1} * (G_{1} + \sqrt{G_{1} * G_{2}} + G_{2}) - G_{2} * (G_{1} + \sqrt{G_{1} * G_{2}} + G_{2})}{G_{1} - G_{2}} V = \frac{h}{3} * \frac{{(G}_{1} - G_{2}) * (G_{1} + \sqrt{G_{1} * G_{2}} + G_{2})}{G_{1} - G_{2}} V = \frac{h}{3} * (G_{1} + \sqrt{G_{1} * G_{2}} + G_{2}) V = \frac{h}{3} * (pi * r_{1} + \sqrt{pi * r_{1} * pi * r_{2}} + pi * r_{2}) V = \frac{1}{3} * h * pi * (r_{1} + \sqrt{r_{1} * r_{2}} + r_{2})

w.z.b.w.

anonymous

13:00 Uhr, 08.12.2005

Ableitung zur Formel Volumen Kegelstumpf V= 1/3.pi.h(r1²+r1.r2+r2²)

Ausgangspunkt.: V = 1/3.pi.r².h

2Radien.:

r1 = Radius des Kegels unten

r2 = Radius des Kegelstumpfs oben

2 Höhen.:

h = Höhe des Kegelstumps

h* = Höhe des oberen Kegels (quasi die abgeschnittene Spitze)

Bereits abgeleitet mit Strahlensatz.:

h* = r2.h / (r1-r2) /steht für Bruchstrich

Ansatz.:

Vkst = Vges - Vk* (V Kegelstumpf = V gesamt - V Kegelspitze)

eingesetz

Vkst = 1/3.pi.r².h - 1/3.pi.r². (r2.h / r1-r2)

jetzt weiter umformen

aber wie

Ergebnis.: Vkst = 1/3.pi.h (r1²+r1.r2+r2²)

anonymous

08:01 Uhr, 09.12.2005

Werner Panhans (werner.panhans@web.de) 08.12.2005 13:00:35

Ableitung zur Formel Volumen Kegelstumpf V= 1/3.pi.h(r1²+r1.r2+r2²)

Ausgangspunkt.: V = 1/3.pi.r².h

2Radien.:

r1 = Radius des Kegels unten

r2 = Radius des Kegelstumpfs oben

2 Höhen.:

h = Höhe des Kegelstumps

h* = Höhe des oberen Kegels (quasi die abgeschnittene Spitze)

Bereits abgeleitet mit Strahlensatz.:

h* = r2.h / (r1-r2) /steht für Bruchstrich

Ansatz.:

Vkst = Vges - Vk* (V Kegelstumpf = V gesamt - V Kegelspitze)

eingesetz

Vkst = 1/3.pi.r².h - 1/3.pi.r². (r2.h / r1-r2)

jetzt weiter umformen

aber wie ?????

Ergebnis.: Vkst = 1/3.pi.h (r1²+r1.r2+r2²)

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