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Kelvin–Voigt material - lineare DGL 1´ter Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

NEPH1L1M aktiv_icon

17:56 Uhr, 13.01.2012

Hallo,

es geht um die Lösung der DGL für ein Voigt-Kelvin Material:

\Rightarrow

en.wikipedia.org/wiki/Kelvin%E2%80%93Voigt_material

η =

Viskosität

Für

σ =

konstant

\Rightarrow σ_{0} = E \cdot ε (t) + η \cdot \frac{d ε}{d t}

DGL umgestellt

\Rightarrow \frac{d ε}{d t} + \frac{E}{η} \cdot ε (t) = \frac{σ_{0}}{η}

mit

λ = \frac{E}{η}

\Rightarrow \frac{d ε}{d t} + λ \cdot ε (t) = \frac{σ_{0}}{η}

\Rightarrow

Homogene Lösung:

ε_{h} = C \cdot e^{- \frac{E}{η} t}

mit

λ = \frac{E}{η}

\Rightarrow ε_{h} = C \cdot e^{- λ t}

Partikuläre Lösung mit dem Ansatz

ε_{p} (t) = A

und

\frac{d ε_{p}}{d t} = 0

\frac{d ε}{d t} + λ \cdot ε (t) = \frac{σ_{0}}{η}

\Rightarrow 0 + \frac{E}{η} \cdot A = \frac{σ_{0}}{η}

\Rightarrow A = \frac{\frac{σ_{0}}{η}}{\frac{E}{η}} = \frac{σ_{0}}{η} \cdot \frac{η}{E} = \frac{σ}{E}

\Rightarrow ε_{p} = A = \frac{σ}{E}

\Rightarrow

allgemeine Lösung

ε (t) = C \cdot e^{- λ t} + \frac{σ}{E}

Die Dehnung

ε

ist bei

t = 0

ja auch

= 0

\Rightarrow

Anfangsbedingung

ε (t = 0) = 0

\Rightarrow 0 = C \cdot e^{- λ \cdot 0} + \frac{σ}{E}

\Rightarrow 0 = C \cdot 1 + \frac{σ}{E}

\Rightarrow C = - \frac{σ}{E}

\Rightarrow

Spezielle Lösung:

ε (t) = - \frac{σ}{E} \cdot e^{- λ t} + \frac{σ}{E}

\Rightarrow ε (t) = \frac{σ_{0}}{E} \cdot (1 - e^{- λ \cdot t})

gleich der WIKI lautet :

\Rightarrow ε (t) = \frac{σ_{0}}{E} \cdot (1 - e^{- λ \cdot t})

Danke für deine Hilfe

L . G

. NEPHI

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:07 Uhr, 13.01.2012

Hallo,

der Fehler taucht bei er Gleichung für A auf, Du schreibst

A + E_{η} \cdot 0 \cdot η = σ_{0}

und daraus folgt aber

A = σ_{0}

.

Du hast Dich auch bei der Differentialgleichung vertippt, der Faktor vor der Ableitung ist

\frac{η}{E},

was aber im weiteren wieder korrigiert ist.

Ich sehe gerade: Müsste auf der rechten Seite nicht auch

\frac{σ_{0}}{E}

stehen?

gruß pwm

NEPH1L1M aktiv_icon

18:45 Uhr, 13.01.2012

Hallo ich habe schon einen Fehler gefunden

die DGL lautet eigentlich

\Rightarrow \frac{d ε}{d t} + λ \cdot ε (t) = \frac{σ_{0}}{η}

und nicht

> \frac{d ε}{d t} + λ \cdot ε (t) = σ_{0}

Mein Ansatz für die partikuläre Lösung müsste dann wie lauten ?

Gruß NEPHI

NEPH1L1M aktiv_icon

18:56 Uhr, 13.01.2012

Habe die Lösung gefunden und gleich oben richtig eingesetzt!

Danke dir!

Schönen Abend !

LG NEPHI

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