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Keplersche Fassmethode

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Beispiel, differenz, Fass, Kepler, Keplersche Fassmethode, Liter

Kai-B aktiv_icon

18:47 Uhr, 15.02.2010

Hallo zusammen,

Ich schreibe derzeit eine Facharbeit in Mathematik zum Thema Keplersche Fassmethode und habe nun eine Beispielaufgabe gerechnet.
Laut des Fassherstellers, fasst das berechnete Fass

300

Liter. Nach mehreren Rechnungen komme ich aber immer wieder auf

400

liter. Ich weiß das die Keplersche Fassmethode nur eine Annäherung ist, aber die Differenz scheint mir doch ziemlich hoch.

Meint ihr ihr könntet da mal rüberschauen? Da der Formeleditor meine Formel hier irgendwie zerhackstückelt, habe ich die Aufgabe als PDF auf meinen Server hochgeladen.

Viele Grüße
Kai

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

22:00 Uhr, 15.02.2010

Ich komme auf 395 Liter fürs 3hl-Fass. Möglicherweise hat sich ausser uns beiden auch der Hersteller verrechnet...

Kann ja auch sein, dass die Fässer nicht bis zum Stehkragen gefüllt berechnet werden, sondern irgendeine Maximalfüllhöhe eingehalten werden muss - keine Ahnung - bin kein Winzer.

Jedenfalls würde ich mal die Spielregeln für Volumenangaben der Eichenfässer anschauen.
nichtzuletzt besehen die ja auch aus einer Wandung nichtunendlichkleiner Schichtdicke ... zwischen Aussenvolumen und Nutzvolumen könnte auch deshalb eine Differenz liegen.

Auf jeden Fall ist der Kepler nicht so grotteungenau, dass da 25% Abweichung wären.

Anstelle eines Weinfasses kannst du ja mal eine Parabelfunktion mit diesen Werten bilden und rotieren lassen - einmal korrekt integrieren und einmal keplern - das hätte dann zumindest die Unsicherheit des Küferfachwissens ausgeschlossen.

Kai-B aktiv_icon

22:10 Uhr, 15.02.2010

Danke dir, ich denke das werde ich mal ausprobieren.

Über Eichenfässer werde ich mich zusätzlich schlau machen

ahmedhos aktiv_icon

22:30 Uhr, 15.02.2010

A_{1} = A_{2} = \frac{1}{2} \cdot (32 + 39) \cdot 49,5 = 1757,25

A_{1} + A_{2} = 1757,25 + 1757,25 = 3514,5

cm^2

V_{1}

entsteht, wenn die Gerade

y_{1} (x) = \frac{7}{49,5} \cdot x + 32

um die x-Achse rotiert:
Rotationsformel:

V_{1} = π \cdot \int_{0}^{49,5} {(\frac{7}{49,5} \cdot x + 32)}^{2} d x = 196615

V_{2}

entsteht, wenn die Gerade

y_{2} (x) = - \frac{7}{49,5} \cdot x + 39

um die x-Achse rotiert:

V_{2} = π \cdot \int_{0}^{49,5} {(- \frac{7}{49,5} \cdot x + 39)}^{2} d x = 196615

V_{1} = V_{2}

\Rightarrow V_{g e s a m t} = V_{1} + V_{2} = 196615 + 196615 = 393230 c m^{3} = 393,2 L i t e r

http//de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29#Formeln
http//de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Rotation_um_x-Achse

Ok, sorry. Das war meine Methode. Die Keplersche Fassregel ist anscheinend was anders!
http//de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Fassregel
Also, du nährst deinen Faß durch eine Parabel:
http//de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29#Scheitelform

f (x) = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}

mit

(x_{S}, y_{S}) = (49,5; 39)

\Rightarrow f (x) = a \cdot {(x - 49,5)}^{2} + 39

Mit dem Punkt

(0; 32),

der auf der Parabel leigt bestimmst du

a :

\Rightarrow f (0) = 32 \Rightarrow a = - \frac{28}{9801}

\Rightarrow f (x) = - \frac{28}{9801} \cdot {(x - 49,5)}^{2} + 39

Fläche, die unterhalb der Parabel liegt bestimmst du mit dem Integral:

A = \int_{0}^{99} - \frac{28}{9801} \cdot {(x - 49,5)}^{2} + 39 d x = 3630 c m^{2}

Das Volumen darfst du auch laut Wiki mit der Formel für Rotationskörper bestimmen:

V = π \cdot \int_{0}^{99} {(f (x))}^{2} d x = π \cdot \int_{0}^{99} {(- \frac{28}{9801} \cdot {(x - 49,5)}^{2} + 39)}^{2} d x = 419501 c m^{3} = 419,501 L i t e r

Kai-B aktiv_icon

23:02 Uhr, 15.02.2010

Danke ahmedhos,

ich werde meine Aufgabe noch einmal unter dieser Berücksichtigung durchgehen, aber kann ich aufgrund deiner Ergebnisse schonmal daraufschließen das der Rechenfehler beim Hersteller und nicht bei mir lag?

Gruß

Kai

ahmedhos aktiv_icon

16:44 Uhr, 16.02.2010

Hi,

Das gesamtvolumen laut Kepler ist

419,501

Liter, aber vielleicht wird ein Fass mit

300

Liter Flüßigkeit gefüllt?

Die Methode ist nur eine Annährung und zwar eine gute Annährung. Ich nehme an, daß auch in Wirklichkeit das Fass ein Volumen von

419,501

Liter hat.

lg,

Ahmed

Kai-B aktiv_icon

17:25 Uhr, 17.02.2010

Die Frage ist nun ausreichend beantwortet, ich möchte mich nochmal bei euch beiden bedanken, ic hdenke ich werde öfter mal vorbeischauen.

Gruß

Kai

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