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Kern, Bild

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

samuel1357 aktiv_icon

22:06 Uhr, 19.01.2021

Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Es seien

K

ein Körper und φ:V→W und ψ:W→V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen

V

und W.

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1)

Kern (ψ∘φ)⊆Kern ψ

2)

Kern (ψ∘φ)⊆Kern φ

3)

Bild (ψ∘φ)⊆Bild ψ

4)

Bild φ⊆Bild (ψ∘φ)

5)

Bild (ψ∘φ)=Kern (φ∘ψ)

Ich teste an folgenden linearen Abbildungen:

f 1 : (a 1, a 2, a 3, ...) \to (a 2, a 3, a 4, ...)

Kern:

{a 1, a 2, . . |

ai=0

i > 1}

Bild: surjektiv

f 2 : (a 1, a 2, a 3, ...) \to (0, a 1, a 2, ...)

Kern:

{(0,0,0, . .})

Bild:

(a 1, a 2, .

| a 1 = 0}

1)

Kern (f1∘f2)

: (a 1, a 2, a 3 ...) \to (a 1, a 2, a 3, ...) - \to

Kern:

{a 1, a 2, . . |

ai=0

i > 1}

also ist die erste Aussage wahr
zu

2)

also stimmt die zweite Aussage nicht
zu

3)

Bild (f1∘f2): Bild:

{

0,a1,a2,..}
also stimmt die dritte Aussage
zu

4)

also stimmt die vierte Aussage
zu

5)

Bild (f1∘f2): Bild:

{

0,a1,a2,..}, Kern (f2∘f1)={(0,0,0,..})
also stimmt die fünfte Aussage nicht

Meine wahr bzw. falsch Aussagen beziehen sich dabei NUR auf das Beispiel.

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

JaBaa aktiv_icon

01:36 Uhr, 20.01.2021

Hi,

mag sein, dass ich etwas falsches am späten Abend denke, aber ich glaube keine der Aussagen ist wahr ( was ich verwunderlich finde ). Man kann für alle ein Gegenbeispiel finden, oder ich spinne mir nach langem Mathe lernen in der Nacht irgendetwas zusammen und sollte schlafen gehen ;-) .

Viele Grüße

samuel1357 aktiv_icon

10:14 Uhr, 20.01.2021

Ok, vielen Dank für deine Hilfe!

JaBaa aktiv_icon

11:05 Uhr, 20.01.2021

Also was ich mir

z . B

bei 1 und 2 gedacht habe:

1)

kann nicht stimmen, da es lineare Abbildung vom

φ : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

und

ψ : ℝ^{2} \to ℝ^{3}

gibt.

Der Kern von

ψ

ist eine Menge aus dem

ℝ^{2}

während der Kern von

ψ \circ φ

aus dem

ℝ^{3}

kommt. Also kann

1)

im allgemeinen nicht stimmen.

2)

Da habe ich mir zwei lineare Abbildungen gebastelt.

φ : ℝ^{3} \to ℝ^{2}, (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix})

und

ψ : ℝ^{2} \to ℝ^{3}, (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{1} \\ x_{1} \end{matrix})

diese beiden Abbildung sind linear

φ

hat den Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

im Kern, während

ψ \circ φ

auch

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

im Kern hat kommt aber auch noch ein weiterer Vektor hinzu. Nähmlich

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

. Die beiden Vektoren im Kern hängen nicht voneinander ab, deshalb kann der Kern von

ψ \circ φ = < (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) >

nicht Teilmenge vom Kern von

φ = < (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) >

sein.

Bei den anderen Beispielen habe ich ähnliches gemacht, aber auch nur im Kopf, deswegen ist mir vielleicht auch nen Fehler passiert.

Viele Grüße

samuel1357 aktiv_icon

12:07 Uhr, 20.01.2021

Danke für deinen Ansatz und deine Mühe!
Ich werde Gegenbeispiele

f + r

die anderen Aussagen suchen!

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