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Kern einer 2x3 Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Finn5 aktiv_icon

11:49 Uhr, 30.08.2014

Hey!

Ich verzweifle gerade an einer Kernaufgabe, wo ich einfach nicht auf die beiden Vektoren komme, hier ein Bild dazu:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

12:20 Uhr, 30.08.2014

Naja, du hast den kompletten Lösungsweg doch schon angehängt. Kannst du sagen, wo genau es hakt?

Finn5 aktiv_icon

13:08 Uhr, 30.08.2014

Ich verstehe den schritt von $(- 11 - 1) (000)$ zu den Vektoren nicht, wo kommen die $(110)$ und die $(- 101)$ her ? Ich steh da fürchterlich auf dem Schlauch :-D)

anonymous

13:37 Uhr, 30.08.2014

Ok, dann beschreibe ich das ma ausführlicher:

Zur zweiten zeile wird die erste Zeile addiert
$K e r n (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) = K e r n (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Daher hat sich das zu lösende Gleichungssystem
$(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$
vereinfacht zu:
$(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

Die zweite Zeile ist eine Nullzeile, enthält also keine zusätzliche Information. Die erste Zeile besagt:
$- x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0$

Das kann man umformen zu:
$x_{1} = x_{2} - x_{3}$

Nun hat man nur eine Gleichung mit drei Unbekannten, weshalb man zwei Unbekannte frei wählen darf:
$x_{2} = s$
$x_{3} = t$

Und somit ist:
$x_{1} = x_{2} - x_{3} = s - t$

Also erhält man für beliebige $s$ und $t$ die Lösungen:
$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s - t \\ s \\ t \end{matrix}) = (\begin{matrix} s \\ s \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - t \\ 0 \\ t \end{matrix}) = s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$- - -$
Alternativ kann man, auch versuchen zwei linear unabhängige Vektoren zu raten, welche von rechts an $(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ multipliziert $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ ergeben.
So kann man direkt sehen, dass $(\begin{matrix} p \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} q \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ für $p = 1$ und $q = - 1$ entsprechende Vektoren sind.
Raten ist oft schneller/kürzer, aber da sollte man schon etwas sicherer sein.

Finn5 aktiv_icon

13:41 Uhr, 30.08.2014

Tatsächlich!
Habs kapiert, vielen Dank!!

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