Startseite » Forum » Kern einer 2x3 Matrix

Kern einer 2x3 Matrix

Universität / Fachhochschule

11:49 Uhr, 30.08.2014

Hey!

Ich verzweifle gerade an einer Kernaufgabe, wo ich einfach nicht auf die beiden Vektoren komme, hier ein Bild dazu:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

12:20 Uhr, 30.08.2014

Naja, du hast den kompletten Lösungsweg doch schon angehängt. Kannst du sagen, wo genau es hakt?

13:08 Uhr, 30.08.2014

Ich verstehe den schritt von

(- 11 - 1) (000)

zu den Vektoren nicht, wo kommen die

(110)

und die

(- 101)

her ? Ich steh da fürchterlich auf dem Schlauch :-D)

anonymous

13:37 Uhr, 30.08.2014

Ok, dann beschreibe ich das ma ausführlicher:

Zur zweiten zeile wird die erste Zeile addiert

K e r n (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) = K e r n (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Daher hat sich das zu lösende Gleichungssystem

(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

vereinfacht zu:

(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Die zweite Zeile ist eine Nullzeile, enthält also keine zusätzliche Information. Die erste Zeile besagt:

- x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0

Das kann man umformen zu:

x_{1} = x_{2} - x_{3}

Nun hat man nur eine Gleichung mit drei Unbekannten, weshalb man zwei Unbekannte frei wählen darf:

x_{2} = s

x_{3} = t

Und somit ist:

x_{1} = x_{2} - x_{3} = s - t

Also erhält man für beliebige

s

und

t

die Lösungen:

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s - t \\ s \\ t \end{matrix}) = (\begin{matrix} s \\ s \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - t \\ 0 \\ t \end{matrix}) = s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

- - -

Alternativ kann man, auch versuchen zwei linear unabhängige Vektoren zu raten, welche von rechts an

(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

multipliziert

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

ergeben.
So kann man direkt sehen, dass

(\begin{matrix} p \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} q \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

für

p = 1

und

q = - 1

entsprechende Vektoren sind.
Raten ist oft schneller/kürzer, aber da sollte man schon etwas sicherer sein.

13:41 Uhr, 30.08.2014

Tatsächlich!
Habs kapiert, vielen Dank!!

1182077

1182061

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?