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Kern einer Abbildung

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Sonstiges

Tags: Abbildung, endlicher Körper, Kern, Sonstig, Spur

mariem aktiv_icon

17:15 Uhr, 08.12.2018

Hallo,

sei

q

eine Potenz einer Primzahl und sei

n \in ℕ

. Wir symbolisieren mit

T r

die Abbildung der Spur von

F_{q^{n}}

F_{q}

, also

T r : F_{q^{n}} \to F_{q}

T r (a) = \sum_{j = 0}^{n - 1} a^{q^{j}}

.

Ich will die Dimension des Bildes der linearen Abbildung

θ : F_{q^{n}} \to F_{q^{n}}

θ (β) = β^{q} - β

bestimmen.

Es gilt dass

\dim (F_{q^{n}}) = \dim (\ker (θ)) + \dim (i m (θ)) \Rightarrow k n = \dim (\ker (θ)) + \dim (i m (θ))

, richtig?

Der Kern der linearen Abbildung ist

\ker (θ) = {β \in F_{q^{n}} : θ (β) = 0} = {β \in F_{q^{n}} : β^{q} - β = 0}

Für

β \in F_{q^{n}}

haben wir

β^{q^{n}} = β \Rightarrow {(β^{q})}^{q^{n - 1}} = β

, oder nicht?

Dann bekommen wir:

β^{q} - β = 0 \Rightarrow β^{q} - {(β^{q})}^{q^{n - 1}} = 0 \Rightarrow β^{q} (1 - {(β^{q})}^{q^{n - 2}}) = 0 \Rightarrow β^{q} = 0

oder

{(β^{q})}^{q^{n - 2}} = 1

Folgt es davon dass

β = 0

oder

β = 1

?

Ausserdem will ich zeigen dass

\ker (T r) = {β^{q} - β : β \in F_{q^{n}}}

.

Wir haben dass

\ker (T r) = {a \in F_{q^{n}} : T r (a) = 0} = {a \in F_{q^{n}} : \sum_{j = 0}^{n - 1} a^{q^{j}} = 0}

Wie kann man weiter machen?

ermanus aktiv_icon

13:58 Uhr, 09.12.2018

Hallo mariem,
du hast beim Ausklammern von

β^{q}

einen Fehler gemacht.
Es müsste

β^{q} (1 - (β^{q})^{q^{n - 1} - 1})

heißen.
Das wird dich aber vermutlich nicht weiterbringen ...

Ich schlage daher einen anderen Weg vor:

\ker (θ) = {β ∣ β^{q} - β = 0}

Ein solches

β

ist entweder

= 0

oder es gilt

β^{q - 1} = 1

,
d.h.

β

ist eine Nullstelle des Polynoms

p (x) = x^{q - 1} - 1

.
Die Elemente

\neq 0

des Unterkörpers

F_{q}

sind Nullstellen
des Polynoms

p

, dessen Nullstellen sämtlich verschieden sind,
also genau

q - 1

Stück, also genau die Elemente von

F_{q}^{*}

.
Damit erhältst du

\ker (θ) = F_{q}

, also

\dim (\ker (θ)) = 1

.
Nun kannst du deinen Dimensionssatz anwenden ...
Vielleicht kommst du nun weiter?
Gruß ermanus

mariem aktiv_icon

18:05 Uhr, 09.12.2018

Ist die Dimension von

\ker (θ) = F_{q} = {0, 1, a, \dots, a^{q - 1}}

nicht gleich die Anzahl der Elemente? Warum ist die Dimension gleich

1

ermanus aktiv_icon

18:16 Uhr, 09.12.2018

Der Vektorraum

F_{q}

hat über dem Skalarkörper

F_{q}

die Dimension

1

;-)

mariem aktiv_icon

18:34 Uhr, 09.12.2018

Achso! Gilt dass

\dim (F_{q^{n}}) = n

ermanus aktiv_icon

19:07 Uhr, 09.12.2018

Klar; denn wenn

F_{q^{n}}

eine Basis

{1, b_{2}, \dots, b_{n}}

mit

n

Elementen hat,
dann besteht

F_{q^{n}}

aus den Elementen

c_{1} + c_{2} b_{2} + \dots c_{n} b_{n}

.
Für

c_{1}

bis

b_{n}

gibt es jeweils

q

Möglichkeiten, also insgesamt

q \dots q = q^{n}

Möglichkeiten.
Tipp eines "alten Algebra-Hasen": Macht euch immer Beispiele !!

Gruß ermanus

mariem aktiv_icon

19:50 Uhr, 09.12.2018

Ahh ok!!

Kannst du mir ein Tipp geben für den zweiten Teil?
Wir haben dass

\ker (T r) = {a \in F_{q^{n}} : T r (a) = 0} = {a \in F_{q^{n}} : \sum_{j = 0}^{n - 1} a^{q^{j}} = 0}

. Wie kann man zeigen dass diese Menge gleich

{β^{q} - β : β \in F_{q^{n}}}

ist?

ermanus aktiv_icon

20:05 Uhr, 09.12.2018

Es ist

T r (β^{q}) = β^{q} + β^{q^{2}} + \dots + β^{q^{n - 1}} + β^{q^{n}} =

= β^{q} + β^{q^{2}} + \dots + β^{q^{n - 1}} + β = T r (β)

.
Da

T r

F_{q}

-linear ist, folgt

T r (β^{q} - β) = T r (β^{q}) - T r (β) = 0

, also

i m (θ) = {β^{q} - β ∣ β \in F_{q^{n}}} \subseteq \ker (T r)

.
Da

\dim (\ker (T r)) = n - 1 = \dim (i m (θ))

, folgt dann

k e r (T r) = i m (θ)

.
Gruß ermanus

mariem aktiv_icon

21:18 Uhr, 09.12.2018

Ahh ok!!

Um zu zeigen dass

T r

F_{q}

-linear ist, machen wir folgendes:

T (a + b) = \sum_{j = 0}^{n - 1} {(a + b)}^{q^{j}}

Wir wenden den Binomischen Lehrsatz an und die mittleren Terme sind gleich

0

über

F_{q}

und so bekommen wir

\sum_{j = 0}^{n - 1} (a^{q^{j}} + b^{q^{j}}) = \sum_{j = 0}^{n - 1} a^{q^{j}} + \sum_{j = 0}^{n - 1} b^{q^{j}} = T r (a) + T r (b)

oder nicht?

Dann haben wir noch

T r (λ a) = \sum_{j = 0}^{n - 1} {(λ a)}^{q^{j}} = \sum_{j = 0}^{n - 1} (λ^{q^{j}} a^{q^{j}})

Ist das gleich

λ T r (a)

ermanus aktiv_icon

21:32 Uhr, 09.12.2018

Ja,

λ^{q} = λ

; denn

λ

liegt im Grundkörper

F_{q}

mariem aktiv_icon

22:09 Uhr, 09.12.2018

Achso ja!!

Wir haben dass

\dim (\ker (T r)) \geq \dim (i m (θ)) = n - 1

. Wie folgt die Gleichung, also dass

\dim (\ker (T r)) = n - 1

?
Betrachten wir das dazu das Bild dieser Abbildung?
Wir haben dass

\dim (F_{q^{n}}) = \dim (\ker (T r)) + \dim (i m (T r)) \Rightarrow \dim (i m (T r)) \leq 1

, also ist

\dim (i m (T r)) = 0

oder

\dim (i m (T r)) = 1

.
Wenn

a = 0

dann haben wir

T r (0) = 0

.
Wenn

a \neq 0

, z.B

a = 1

dann

T r (1) = n \neq 0

, oder nicht?
Also wir haben ausser das Nullelement noch ein anderes Element gefunden. Bedeutet das dass

\dim (i m (T r)) = 1

ermanus aktiv_icon

22:37 Uhr, 09.12.2018

Ist viel einfacher!

T r

ist nicht die Nullabbildung, also eine Linearform

\neq 0

,
z.B. wegen

T r (1) = n

.
(Hier sehe ich noch ein Problem: was ist, wenn

n \equiv 0

mod

p

?)
Der Kern einer Linearform

\neq 0

ist immer eine Hyperebene.
Das habt ihr mal in der linearen Algebra gelernt ;-)

mariem aktiv_icon

22:52 Uhr, 09.12.2018

Achso ok!!

Über das Beispiel: Wenn

n \equiv 0

mod

p

muss man ein anderes

a

finden um zu zeigen dass

T r

nicht die Nullabbildung ist?

ermanus aktiv_icon

22:54 Uhr, 09.12.2018

Ich fürchte ja :( Habe da noch keine Idee!

ermanus aktiv_icon

23:11 Uhr, 09.12.2018

Gibt es keine Bedingung in der Aufgabe, die

n

einschränkt?

mariem aktiv_icon

23:20 Uhr, 09.12.2018

Es ist nur gegeben dass

n \in ℕ

, es gibt keine weitere Einschränkungen.

ermanus aktiv_icon

23:21 Uhr, 09.12.2018

Wie traurig! Dann muss uns wohl noch was einfallen ...

ermanus aktiv_icon

10:29 Uhr, 10.12.2018

Ich habe einen Satz gefunden, den ihr vielleicht irgendwo hattet:
Sei

L / K

eine endliche separable Körpererweiterung, dann ist
die Spurabbildung

T r \neq 0

.
Die Körpererweiterungen endlicher Körper (unser vorliegender Fall)
sind grundsätzlich separabel, so dass das passt.

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