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Kern und Bild einer nicht quadratischen Matrix
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: basis, Bild, dimension, Kern, Linear Abbildung, Matrix
 
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Moin Leute! :-) Ich verzweifle seit einigen Tagen an einer Aufgabe. Ich soll den Kern und das Bild einer linearen Abbildung bestimmen und dann jeweils die Dimension und die Basis des Kerns und des Bildes. f:( -> ) f() = Die Abbildungsmatrix ist dann ja: f() = Ich kriege einfach nichts gebacken! Bei anderen Beispielen kann ich das eigentlich, aber das ist ja so ein Spezialfall. Kann mir einer vielleicht die Schritte erklären, mit denen ich zur Lösung komme? Danke und LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Logarithmusgesetze - Einführung Matrizen - Determinante und inverse Matrix Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren |
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Inwiefern ist das denn ein Spezialfall? Es geht nach Standardprozedere wie für jede lineare Abbildung. Wie würdest du sonst z.B. den Kern bestimmen? |
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Ich würde die Abbildungsmatrix nach 0 auflösen. Soweit ich es verstanden habe, ist x = 0 und y hat keine Lösung. |
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Es ist immer besser, direkt Definitionen zu nutzen und nicht irgendwelche Verfahren, vor allem wenn man nicht versteht, wie sie funktionieren. Kern von besteht aus allen , für welche gilt. Das ergibt die Gleichungen und , woraus sofort und folgt. Also besteht der Kern nur aus . Fertig, und keine Matrix gebraucht. |
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Und beim Bild wissen wir zuerst mal, dass es zweidimensionale sein muss, weil Kern nulldimensional ist. (dim Kern+dim Bild=dim Ausgangsvektorraum) Damit brauchen wir zwei Basisvektoren im Bild. Wenn wir z.B. und nehmen, bekommen einen Vektor . Wenn umgekehrt und , dann bekommen . Beide Vektoren sind klar linear unabhängig, daher sind eine Basis des Bildes. Es gibt natürlich viele anderen Basen, denn Basis ist nicht eindeutig (es sei denn, es geht um einen Nullraum). Aber man braucht nur eine von vielen. Mehr ist hier nichts zu machen. |
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