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Kern von R3 skizzieren (Untervektorraum)

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Kern, Linear Abbildung, Untervektorraum

Niicc aktiv_icon

21:21 Uhr, 19.04.2017

Hallo,

Die Aufgabe ist zu prüfen ob folgende Teilmengen von

ℝ^{3}

Untervektorräume sind und man soll die Teilmengen anschließend skizzieren.

a)

D = {(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) | u_{1} + 3 u_{2} = 2 u_{3}}

kann ich ja auch als

u_{1} + 3 u_{2} - 2 u_{3} = 0

schreiben.

so bin ich drauf gekommen, dass es für alle

\vec{u} \in D

ein

f (\vec{u}) = \vec{0}

gibt.
was der Definition eines Kerns entspricht. Aber ich verstehe die Aussage irgendwie nicht so richtig, geschweige denn, dass ich die Teilmenge skizzieren könnte.

Also ja, es ist ein Untervektorraum da ich alle Kriterien überprüft habe, aber wie kann ich mir einen Kern zeichnerisch vorstellen?

b)

ist die Teilmenge

E = {(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) | {(u_{1})}^{2} + {(u_{3})}^{2} = 0}

ein Untervektorraum? Ich habe durch die Kriterien ein ja heraus.
und ist es dann eine Gerade?
Es sind ja nur Vektoren der Art

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})

möglich oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:49 Uhr, 20.04.2017

Hallo

2)

ist richtig und ja es ist sogar ne besondere Gerade, wenn du für

x 2

mal ein paar Werte einsetzt siehst du es sicher.
zu

1)

schreib dir den oder die typischen Vektoren auf, die in

D

liegen, dann siehst du sicher was das ist. setze

x^{=} r, x 2 = t

und schreib den Vektor auf, dann alle Vektoren der Form.
(was du mit Kern willst verstehe ich nicht. du hast einen UVR einen Kern hat eine Abbildung, aber dass eine gewisse Summe der Komponenten eines Vektors 0 ergibt hat damit nichts zu tun. )
Gruß ledum

Niicc aktiv_icon

10:12 Uhr, 20.04.2017

ah ja, ich hab da irgendwie den kern im kopf gehabt, aber danke, ich habe jetzt eine Gerade

λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

für

λ \in ℝ

eingezeichnet. müsste doch richtig sein oder?

ich habe noch eine andere aufgabe:

es ist ein untervektorraum von

ℝ_{\leq 2} [x] = {p : ℝ \to ℝ |

p(x)=ax²+bx+c mit

a, b, c \in ℝ}

gegeben mit:

U = {p : ℝ \to ℝ | p (1) = p (- 1) - p (0)}

und man soll ein Erzeugendensystem finden.
setzte ich

p (1) = a + b + c

und

p (- 1) = a - b + c

und

p (0) = c

ein so erhalte ich

c = 2 b

ist mein ES dann einfach

z . B

{

2,x,ax² }?
irgendwie weis ich nicht was ich mit

c = 2 b

anfangen soll?

ledum aktiv_icon

14:54 Uhr, 20.04.2017

Hallo
die Gerade soll für Aufgabe

b

sein? du sagst doch selbst alle Vektoren haben die Form

λ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

?
in Aufgabe

a)

kommt eine ebene raus. du kannst

x_{1} = s, x_{2} = r, x 3

daraus ausrechnen. dann hast du einen Vektor, den du in

r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}

aufschreiben kannst und den Aufpunkt

(0,0,0)

. damit hast du den UVR beschrieben und kannst ihn skizzieren. oder

x 2 = 0, x 1 = 1 x 3 = . .

. und

x 1 = 0 x 2 = 1 x_{3} = .

. 3 Punkte der Ebene zeichnen, das Dreieck daraus und

(0,0,0)

geben dann auch die Ebene.
zur neuen Aufgabe, die sollte eigentlich in einen neuen post, aber

1,

hab ich

c = - 2 b

deine Unterraum Vektoren haben also die form ax^2+bx-2b oder ax^2-2cx+c, dein hingeschriebenes ES erzeugt den ganzen VR, also Versuchs noch mal, du kannst ja 2 typische Vektoren hinschreiben

z

. B.

a = 1, b = 0

oder

b = 1 a = 0

.
davon suchst du ein erzeugendenSystem
Gruß ledum

Niicc aktiv_icon

15:48 Uhr, 20.04.2017

super danke Aufgabe a und

b

konnte ich jetzt nachvollziehen

die neue Aufgabe bereitet mir immer noch schwierigkeiten.
wie sehen den überhaupt vektoren im

ℝ_{< 2} [x]

aus?
auch verstehe ich nicht wie

c = - 2 b

sein soll?
Ausführlich:

a + b + c = a - b + c + c

b + c = - b + 2 c | - c + b

2 b = c

aber ok, ich nehme jetzt mal an dass mein Untervektorraum die Form ax²+bx+2b hat
jetzt setzte ich

a = 1

und

b = 0

und erhalte

\vec{x} =

x²
und

a = 0

und

b = 1

ergibt

\vec{y} = x + 2

sind das Vektoren aus meinem Untervektorraum?

und irgendwie muss man die verknüpfen,
mit

λ \cdot

(x²)

+ μ \cdot (x + 2) =

ax²

+

+ 2

kann man ja alle möglichkeiten des Untervektorraumes aufschreiben oder?
also ist mein ES

= {

x²,x+2

}

(sogar linear unabhängig und eine Base? )

ledum aktiv_icon

16:47 Uhr, 20.04.2017

Hallo

p (1) = a + b + c

p (- 1) = a - b + c

p (0) = c

gibt bei mir

a + b + c = a - b + c - c

2 b = - c

mit berichtigtem

c

bzw

b

ist dein Erzeugendensystem richtig, da sie lin unabhängig sind, sonst wären sie ja kein Erzeugendensystem solange es nur 2 sind.
Gruß ledum

Niicc aktiv_icon

16:51 Uhr, 20.04.2017

Oh, ich hatte in der Aufgabenstellung einen Tippfehler.

Danke!

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