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Kerninklusionen beweisen

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Tags: Determinant, Eigenwert, Vektorraum

 
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Berenike

Berenike aktiv_icon

21:25 Uhr, 01.12.2021

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Sei K ein Körper, V ein K Vektorraum und K[T] der Polynomring über K. Ferner seien fEnd(V) und p,qK[T].

(a) Man zeige: ist p ein Teiler von q, so gilt
Kern(p(f))Kern(q(f)). und Bild(q(f))Bild(p(f))

(b) Ist d ein größter gemeinsamer Teiler von p und q, so gilt

Kern(d(f))=Kern(p(f))Kern(q(f)) und
Bild(d(f))=Bild(p(f))+Bild(q(f))

Also zum Teil a):

Sei xKern(p(f)). Z.z. xKern(q(f))

Meine Argumentation:

Ist p(f)=0, so ist natürlich, für jedes Polynom k, auch kp(f)=0 und somit auch q=kp=0.

Frage: Ist es wirklich so einfach ? So weit ich verstanden habe, geht es hier um einen Einsetzungshomomorphismus.

Zu der Aussage mit dem Bild: Wenn x=q ist, dann ist x=kp. Was kann man noch mehr zeigen als das? Das verwirrt mich leider noch. :(


Würde mich für kurzes Feedback sehr freuen! :-)


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Berenike

Berenike aktiv_icon

18:42 Uhr, 03.12.2021

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Habe ich zu wenig beigetragen oder mangelt es euch an Fantasie diese Aufgabe zu lösen? Ich habe das vorgetragen was mir dazu eingefallen ist...
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