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# Kerninklusionen beweisen

## Tags: Determinant, Eigenwert, Vektorraum

21:25 Uhr, 01.12.2021

Sei $K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ ein Körper, $V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ ein $K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ Vektorraum und $K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left[T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ der Polynomring über $K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. Ferner seien $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in E\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(V\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ und $p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left[T\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right].$

(a) Man zeige: ist $p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ ein Teiler von $q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$, so gilt
$K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)\subseteq K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right).$ und $B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)\subseteq B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$

(b) Ist $d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ ein größter gemeinsamer Teiler von $p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ und $q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},$ so gilt

$K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)=K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)\cap K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$ und
$B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)=B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)+B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$

Also zum Teil a):

Sei $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right).$ Z.z. $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$

Meine Argumentation:

Ist p(f)=0, so ist natürlich, für jedes Polynom k, auch $k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=0$ und somit auch $q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0.$

Frage: Ist es wirklich so einfach ? So weit ich verstanden habe, geht es hier um einen Einsetzungshomomorphismus.

Zu der Aussage mit dem Bild: Wenn $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ ist, dann ist $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. Was kann man noch mehr zeigen als das? Das verwirrt mich leider noch. :(

Würde mich für kurzes Feedback sehr freuen! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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18:42 Uhr, 03.12.2021

Habe ich zu wenig beigetragen oder mangelt es euch an Fantasie diese Aufgabe zu lösen? Ich habe das vorgetragen was mir dazu eingefallen ist...
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