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Kettenbrüche

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

 
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NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

13:29 Uhr, 16.09.2020

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Guten Tag,

wie kann man folgende Zahl in einen Kettenbruch umwandeln:
13-2

Die Kettenbruchentwicklung von 2 wäre ja [1;2,2,2,...]. Ist die Lösung also [0;2,2,2,...] oder kann man das nicht so machen?

MfG,

Noah
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:48 Uhr, 16.09.2020

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[0,2,2,...] löst die Gleichung x=1/(2+x), daher ist es 2-1 und nicht deine Zahl.

Hier auf der S.26 gibt's einen Algorithmus:
http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/Diplome/Scheel.pdf
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

14:21 Uhr, 16.09.2020

Antworten
Okay, nach dem Algorithmus habe ich folgendes Resultat erhalten:
[0;1,1,1,2,2,2,...] (Die 2 ist periodisch)

Ist das richtig?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:27 Uhr, 16.09.2020

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Ja, richtig.
Hier kann man es berechnen lassen:
www.alpertron.com.ar/CONTFRAC.HTM

Man muss nur 13-2 als 3+27 schreiben (beide Brüche sind offensichtlich gleich).
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

14:34 Uhr, 16.09.2020

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Super, aber wie würde man das denn ausrechnen ohne Algorithmus? Bin mir nämlich nicht sicher ob wir sowas überhaupt benutzten dürfen.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:36 Uhr, 16.09.2020

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"Super, aber wie würde man das denn ausrechnen ohne Algorithmus?"

Ich kenne keine Möglichkeit ohne.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:41 Uhr, 16.09.2020

Antworten
Der Algorithmus macht ja nichts anderes als das: Ausgehend von x0=x bestimmt man

ak=xk;xk+1=1xk-ak für k=0,1,

Bei algebraischen Zahlen zweiten Grades (= nichtrationale Lösungen quadratischer Gleichungen) läuft das irgendwann in eine Periode.


In deinem Fall etwa haben alle Zwischenwerte die Struktur xk=bk+ck2dk mit ganzen Zahlen bk,ck,dk:

a0=0 , x1=3-2
a1=1 , x2=12-2=2+22
a2=1 , x3=12+22-1=2

Der "Rest" entspricht dann der Kettenbruchentwicklung von 2:

a3=1 , x4=12-1=2+1
a4=2 , x5=12-1=2+1=!x4

und damit sind wir in der Periode.
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