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Kettenlinie LK-Aufgabe

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kette, Kettenlinie, Länge, Normalparabel

SQ-SQ aktiv_icon

21:49 Uhr, 08.03.2010

Hallo liebe Leute!
Ich habe hier eine Übungsaufgabe (haben wir zur Abiturvorbereitung bekommen), mit der ich überhaupt nicht zurecht komme. Kann vielleicht jemand helfen?

Es geht um eine Kettenlinie.
Teilaufgabe

b :

Die Form der Kettenlinie hängt bei gegebenen Aufhängepunkten nur von der Länge der Kette ab. Wenn man eine kleine Kette aufhängt und das Bild dieser Kette in jeder Richtung auf das Doppelte vergrößert, so sollte dies die Ketetnkurve einer doppelt so langen Kette sein.
Ist diese geometrische Eigenschaft bei der Parabel gegeben?
Betrachte dazu eine in

x -

und y-Richtung um den Faktor 2 gestreckte Normalparabel.

Leider habe ich nicht die geringste Ahnung, wie man die Länge eines Parabelstücks berechnet. Aber in Teilaufgabe

d

findet sich eine Formel:

\int_{0}^{x_{0}} \sqrt{}

(1+f'(x)²)

d x

Ist es die Formel für die Länge? Und wie bilde ich diese Stammfunktion?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MBler07 aktiv_icon

23:39 Uhr, 08.03.2010

Hi

Das ist die Formel für die Länge einer Funktion

f (x)

im Intervall

[0; x_{0}]

.

Berechnen würde ich das über Substitution. Deine Ausgangsgleichung lautet:

f (x) = x^{2} \to f' (x) = 4 x

\to L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x

x = \frac{1}{2} sin (u)

\frac{d x}{d u} = \frac{1}{2} cos (u)

d x = \frac{1}{2} cos (u) d u

\to L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} sin (x))}^{2}} \cdot \frac{1}{2} cos (u) d u

Für die weiteren Schrite solltest du eine Formelsammlung zu Hand haben (Stichworte: Trigo. Pythagoras; Additionstheoreme).

Grüße

DerDepp aktiv_icon

01:14 Uhr, 09.03.2010

Hossa :-)

Die Aufgabe zielt darauf ab, dass die Kettenlinie keine Parabel ist, sondern wie die cosh-Funktion "durchhängt". Du brauchst hier also nur zu zeigen, dass die geforderte Eigenschaft bei der Parabel verletzt ist.

Die Formel für die Länge einer Kurve folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras. Stell dir eine beliebige, differenzierbare Funktion f(x) vor. An einem beliebigen Punkt x zeichnest du ein Steigungsdreieck ein. Von diesem Punkt x geht es

Δ x

nach rechts und

Δ y

nach oben. Die Hypothenuse des Steigungsdreiecks habe dabei die Länge

Δ s

. Nach Pythagoras gilt nun:

(Δ s)^{2} = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} \overset{}{\Rightarrow} \frac{(Δ s)^{2}}{(Δ x)^{2}} = 1 + \frac{(Δ y)^{2}}{(Δ x)^{2}} \overset{}{\Rightarrow} \frac{Δ s}{Δ x} = \sqrt{1 + \frac{(Δ y)^{2}}{(Δ x)^{2}}}

Die Wurzel geht dabei über die komplette rechte Seite der Gleichung. Je kleiner

Δ x

ist, umso genauer kann

Δ s

als Näherung für die Länge der Kurve im Intervall von x bis x+

Δ x

angesehen werden. Für

Δ x \to 0

wird die Näherung exakt, und es gilt:

\frac{d s}{d x} = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} \overset{}{\Rightarrow} d s = \sqrt{1 + {[f ʹ (x)]}^{2}} d x

Integriert man beide Seiten von

x_{1}

bis

x_{2}

erhält man die Länge L der Kurve von f(x) in dem Intervall

[x_{1}; x_{2}]

L = \int_{x_{1}}^{x_{2}} d s = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + {[f ʹ (x)]}^{2}} d x

Für eine Parabel mit

f (x) = a x^{2}

ergibt sich daher mit

f ʹ (x) = 2 a x

L = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + (2 a x)^{2}} d x

Die Integration ist gar nicht mal so leicht. Mit der Substitution

x = \frac{1}{2 a} \sinh (t) = \frac{e^{t} - e^{- t}}{4 a}

kommst du aber schnell ans Ziel. Nach etwas Termgymnastik erhälst du dann:

L = \frac{1}{2} x \sqrt{1 + 4 a^{2} x^{2}} + \frac{1}{4 a} arcsinh (2 a x)

Den Rest macht dein Taschenrechner :-)

Viele Grüße

DerDepp

SQ-SQ aktiv_icon

16:56 Uhr, 11.03.2010

Wow, super erklärt, danke!!!

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