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Kettenregel

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Differentiation

Tags: Differentiation

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SonyPB

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03:13 Uhr, 16.12.2017

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Für

F, g, h

wie folgt

g : U \to R^{k}

x \mapsto g (x)

U \subseteq R^{n}

h : U \to R^{l}

x \mapsto h (x)

U \subseteq R^{n}

F : V_{1} \times V_{2} \to ℝ

(g (x), h (x)) \mapsto F (g (x), h (x))

V_{1} \subseteq R^{k}, V_{2} \subseteq R^{l}

gilt für

D_{x_{q}} F (g (x), h (x))

:

D_{x_{q}} F (g (x), h (x)) = \sum_{i = 1}^{k} \frac{\partial F (g (x), h (x))}{\partial g_{i} (x)} \cdot \frac{\partial g_{i} (x)}{\partial x_{q}} + \sum_{j = 1}^{l} \frac{\partial F (g (x), h (x))}{\partial h_{j} (x)} \cdot \frac{\partial h_{j} (x)}{\partial x_{q}}

Die Beweisführung der Kettenregel für

D_{x_{q}} F (g (x))

ist mir bekannt, aber ich kann leider keinen Beweis für

D_{x_{q}} F (g (x), h (x))

finden. Wenn mir jemand einen Beweis, Literaturhinweise oder entsprechende Links liefern kann, wäre das extrem hilfreich für mich.

Beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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SonyPB

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10:55 Uhr, 16.12.2017

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Es würde mir schon reichen, wenn mir jemand eine Funktion

z (x)

nennen kann, die ich für

g (x)

und

h (x)

einsetzen kann. Ich komme nur gerade nicht selbst drauf.

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SonyPB

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10:55 Uhr, 16.12.2017

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Es würde mir schon reichen, wenn mir jemand eine Funktion

z (x)

nennen kann, die ich für

g (x)

und

h (x)

einsetzen kann. Ich komme nur gerade nicht selbst drauf.

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DrBoogie

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11:49 Uhr, 16.12.2017

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z (x) := (h (x), g (x))

.

SonyPB

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13:45 Uhr, 17.12.2017

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Vielen Dank!

Kann ich das so verstehen:

z : U \to R^{k} \times R^{l}

x \mapsto z (x) := (g (x), h (x))

U \subseteq R^{n}

D_{x_{q}} F (z (x)) = \sum_{b = 1}^{k + l} \frac{\partial F (z (x))}{\partial z_{b} (x)} \cdot \frac{\partial z_{b} (x)}{\partial x_{q}}

d_{b} := \frac{\partial F (z (x))}{\partial z_{b} (x)} \cdot \frac{\partial z_{b} (x)}{\partial x_{q}}

D_{x_{q}} F (z (x)) = \sum_{b = 1}^{k + l} d_{b}

D_{x_{q}} F (g (x), h (x)) = \sum_{i = 1}^{k} \frac{\partial F (g (x), h (x))}{\partial g_{i} (x)} \cdot \frac{\partial g_{i} (x)}{\partial x_{q}} + \sum_{j = k + 1}^{k + l} \frac{\partial F (g (x), h (x))}{\partial h_{j - k} (x)} \cdot \frac{\partial g_{j - k} (x)}{\partial x_{q}}

Jedem Summand in

D_{x_{q}} F (g (x), h (x))

wird

c_{a}

zugeordnet, so dass:

D_{x_{q}} F (g (x), h (x)) = \sum_{a = 1}^{k + l} c_{a}

Dann gilt:

\forall c_{a} \exists_{1} d_{b} : c_{a} = d_{b}

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:36 Uhr, 17.12.2017

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Sorry, ich verstehe Dich nicht.

SonyPB

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19:05 Uhr, 17.12.2017

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Sorry! Vielleicht habe ich das etwas falsch oder umständlich formuliert. Ich fragte mich nur, ob die Summanden in

D_{x_{q}} F (z (x))

identisch sind mit den Summanden in

D_{x_{q}} F (g (x), h (x))

? Anders formuliert: Jeder Summand in

D_{x_{q}} F (z (x))

entspricht einem Summanden in

D_{x_{q}} F (g (x), h (x))

.

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:05 Uhr, 17.12.2017

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Ja, so ist es

Frage beantwortet

SonyPB

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21:35 Uhr, 18.12.2017

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Vielen Dank!

Beste Grüße und schöne Feiertage!

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