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Kettenregel

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Tags: verstehe zero!

 
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Quadratsepp

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22:53 Uhr, 18.03.2023

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Hallo,

folgende Graphic:

www.abiturloesung.de/abitur/2022/Infinitesimalrechnung/I/6081

auf die folgende Aufgabenstellung folgt:

www.abiturloesung.de/abitur/2022/Infinitesimalrechnung/I/6082

Ich vertehe zero!

Hat jemand lust, mir zu erklären um was es hier genau geht? :-D)

Danke :-)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
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pivot

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23:39 Uhr, 18.03.2023

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Hallo,

man soll f(2) und g(6)=f(f(6)) ermitteln.

Der Graf ist der Graf von f(x). Man kann ablesen, dass f(6)=2.

Dann ist f(f(6))=f(2)=3=g(6)

Anm.: Die Kettenregel findet hier keine Anwendung.

Gruß
pivot
Quadratsepp

Quadratsepp aktiv_icon

23:44 Uhr, 18.03.2023

Antworten
Sorry, Ich hab mich wohl in meinem Eingangspost etwas undeutlich ausgedrückt.
Es geht mir um folgende Aufgabe:

www.abiturloesung.de/abitur/2022/Infinitesimalrechnung/I/6082


Danke :-)
Antwort
pivot

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00:00 Uhr, 19.03.2023

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Die Ableitung von f(f(x)) ist fʹ(f(x))fʹ(x)

Gemäß Kettenregel: Äußere mal innere Ableitung.
Diese Ableitung muss 0 ergeben.

fʹ(f(x))fʹ(x)=0
Also entweder fʹ(x)=0 oder fʹ(f(x))=0

Soweit nachvollziehbar?
Quadratsepp

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00:23 Uhr, 19.03.2023

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hmm, tricky ehrlich gesagt. :-D)

f'(x) ergibt 0 für x=3

Das heißt f'(f(x)) kann/muss was anderes ergeben?

Also, dass in der vorherigen Aufgabe, g(x)=f(f(x)) ist, das ist nachvollziehbar.


Aber hier?

Wie soll ich mir f'(f(x)) vorstellen?
Wie hängt das alles zuammen?

Werde erst morgen wieder dazu kommen, weiter zu denken. :-D)
Aber Danke schon mal für deine Gedanken. :-)




Quadratsepp

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21:28 Uhr, 19.03.2023

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I really don´t know!

Irgendein fundamentaler Gedanke fehlt mir.

Wenn ich allerdings eine ähnliche Funktion (Anhang) bastle, so sind die Extremstellen von f(f(x)) an den Nullstellen von f(x)?



Screenshot 2023-03-19 212520
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:51 Uhr, 19.03.2023

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Ich denke, dein Problem ist, dass du irgendeine geometrische Interpretation für f(f(x)) suchst, irgend einen Sinn darin erkennen möchtest.
Dass ist bei dieser Aufgabenstellung aber nicht nötig.
Wir sind doch schon so weit, dass wir jene x-Werte suchen, für die
g(x)=f'(x)f'(f(x))=0
ist.
Und wir wissen, dass f'(3)=0 ist und kennen keine andere Stelle, an der die erste Ableitung von f Null wäre.

Wir folgern, dass daher entweder f'(x)=0 sein muss, woraus du bereits x=3 gefolgert hast,
oder aber dass f'(f(x))=0 ist. f' ist aber (nur?) an der Stelle 3 gleich Null, also muss das Argument f(x) gleich 3 sein. Und aus f(x)=3 folgt x=??? Da wird es vielleicht mehr als nur eine Möglichkeit geben ...

Quadratsepp

Quadratsepp aktiv_icon

22:33 Uhr, 19.03.2023

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also, steht dann da zunächst:

g(x)=f'(x)f'(f(x))=0
g(x)=f'(3)f'(f(3))=0
g(x)=0f'(f(3))=0

Dann müsste ich ja als zweiten Faktor den abgeleiteten Funktionswert von x=3 nehmen?
f(3)=4
und daraus resultierend von x=4 die Steigung, weil f'(f(4))

Das kann ja nicht sein, laut Lösung ...

Ich bin verwirrt :-D)
Antwort
Roman-22

Roman-22

22:36 Uhr, 19.03.2023

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Nein, du suchst x-Werte, für die f'(f(x))=0 gilt.

Also kurz: f'(blabla)=0 und da wissen doch schon, dass blabla=3 sein muss.

Für f'(x)=0 ist dieses blabla eben das x, also muss x=3 sein

Und wenn, wie bei f'(f(x))=0 dieses blabla eben f(x) ist, dann muss eben f(x)=3 sein und die Stellen, an denen das der Fall ist, kann man der Zeichnung recht gut entnehmen.
Quadratsepp

Quadratsepp aktiv_icon

22:53 Uhr, 19.03.2023

Antworten
Ich möchte haben:


f'(f(x))=0

In Worten: wo ist die Steigung von f(x)=0?
bei x=3!

f(f(x))=g(x) hat also an der Stelle g(3) die Steigung 0.

So?

Antwort
Roman-22

Roman-22

22:58 Uhr, 19.03.2023

Antworten
Nein!
Lies doch, was man dir schreibt!

f'(x) ist Null, wenn x=3 ist

f'(f(x)) ist Null, wenn f(x)=3 ist und das ist an zwei Stellen x der Fall.

g'(x)=f'(x)f'(f(x))=0 ist also an insgesamt drei Stellen x der Fall!

Vergiss die Vorstellung von Steigung und Graph von g(x) und nimm es pragmatisch.
Wir wissen dass f'(3)=0 gilt und wollen wissen, wo f'(x)f'(f(x))=0 gilt und daraus folgt direkt, dass entweder x=3 gelten muss oder f(x)=3.
Antwort
KartoffelKäfer

KartoffelKäfer aktiv_icon

00:17 Uhr, 20.03.2023

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Vielleicht hilft es,

wenn man f' mal kurz in z.B. h umtauft und

0=f'(f(x))f'(x)

als

0=(hf)(x)h(x)

((hf)(x)=0h(x)=0)

(xAf(x)A)   mit   A:={xDh:h(x)=0}

(Dh sei die Definitionsmenge von h) schreibt .

Hierzu empfiehlt sich dann z.B. noch

de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)

.