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Kettenregel

Schüler

Tags: verstehe zero!

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22:53 Uhr, 18.03.2023

Hallo,

folgende Graphic:

www.abiturloesung.de/abitur/2022/Infinitesimalrechnung/I/6081

auf die folgende Aufgabenstellung folgt:

www.abiturloesung.de/abitur/2022/Infinitesimalrechnung/I/6082

Ich vertehe zero!

Hat jemand lust, mir zu erklären um was es hier genau geht? :-D)

Danke :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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23:39 Uhr, 18.03.2023

Hallo,

man soll

f (2)

und

g (6) = f (f (6))

ermitteln.

Der Graf ist der Graf von

f (x)

. Man kann ablesen, dass

f (6) = 2

.

Dann ist

f (f (6)) = f (2) = 3 = g (6)

Anm.: Die Kettenregel findet hier keine Anwendung.

Gruß
pivot

Quadratsepp aktiv_icon

23:44 Uhr, 18.03.2023

Sorry, Ich hab mich wohl in meinem Eingangspost etwas undeutlich ausgedrückt.
Es geht mir um folgende Aufgabe:

www.abiturloesung.de/abitur/2022/Infinitesimalrechnung/I/6082

Danke :-)

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00:00 Uhr, 19.03.2023

Die Ableitung von

f^{} (f (x))

ist

f^{ʹ} (f (x)) \cdot f^{ʹ} (x)

Gemäß Kettenregel: Äußere mal innere Ableitung.
Diese Ableitung muss 0 ergeben.

f^{ʹ} (f (x)) \cdot f^{ʹ} (x) = 0

Also entweder

f^{ʹ} (x) = 0

oder

f^{ʹ} (f (x)) = 0

Soweit nachvollziehbar?

Quadratsepp aktiv_icon

00:23 Uhr, 19.03.2023

hmm, tricky ehrlich gesagt. :-D)

f' (x)

ergibt 0 für

x = 3

Das heißt

f' (f (x))

kann/muss was anderes ergeben?

Also, dass in der vorherigen Aufgabe,

g (x) = f (f (x))

ist, das ist nachvollziehbar.

Aber hier?

Wie soll ich mir

f' (f (x))

vorstellen?
Wie hängt das alles zuammen?

Werde erst morgen wieder dazu kommen, weiter zu denken. :-D)
Aber Danke schon mal für deine Gedanken. :-)

Quadratsepp aktiv_icon

21:28 Uhr, 19.03.2023

I really don´t know!

Irgendein fundamentaler Gedanke fehlt mir.

Wenn ich allerdings eine ähnliche Funktion (Anhang) bastle, so sind die Extremstellen von

f (f (x))

an den Nullstellen von

f (x)

Roman-22

21:51 Uhr, 19.03.2023

Ich denke, dein Problem ist, dass du irgendeine geometrische Interpretation für

f (f (x))

suchst, irgend einen Sinn darin erkennen möchtest.
Dass ist bei dieser Aufgabenstellung aber nicht nötig.
Wir sind doch schon so weit, dass wir jene x-Werte suchen, für die

g (x) = f' (x) \cdot f' (f (x)) = 0

ist.
Und wir wissen, dass

f' (3) = 0

ist und kennen keine andere Stelle, an der die erste Ableitung von

f

Null wäre.

Wir folgern, dass daher entweder

f' (x) = 0

sein muss, woraus du bereits

x = 3

gefolgert hast,
oder aber dass

f' (f (x)) = 0

ist.

f'

ist aber (nur?) an der Stelle 3 gleich Null, also muss das Argument

f (x)

gleich 3 sein. Und aus

f (x) = 3

folgt x=??? Da wird es vielleicht mehr als nur eine Möglichkeit geben

. .

Quadratsepp aktiv_icon

22:33 Uhr, 19.03.2023

also, steht dann da zunächst:

g (x) = f' (x) \cdot f' (f (x)) = 0

g (x) = f' (3) \cdot f' (f (3)) = 0

g (x) = 0 \cdot f' (f (3)) = 0

Dann müsste ich ja als zweiten Faktor den abgeleiteten Funktionswert von

x = 3

nehmen?

f (3) = 4

und daraus resultierend von

x = 4

die Steigung, weil

f' (f (4))

Das kann ja nicht sein, laut Lösung

. .

.

Ich bin verwirrt :-D)

Roman-22

22:36 Uhr, 19.03.2023

Nein, du suchst x-Werte, für die

f' (f (x)) = 0

gilt.

Also kurz:

f' (b l a b l a) = 0

und da wissen doch schon, dass

b l a b l a = 3

sein muss.

Für

f' (x) = 0

ist dieses

b l a b l a

eben das

x,

also muss

x = 3

sein

Und wenn, wie bei

f' (f (x)) = 0

dieses

b l a b l a

eben

f (x)

ist, dann muss eben

f (x) = 3

sein und die Stellen, an denen das der Fall ist, kann man der Zeichnung recht gut entnehmen.

Quadratsepp aktiv_icon

22:53 Uhr, 19.03.2023

Ich möchte haben:

f' (f (x)) = 0

In Worten: wo ist die Steigung von

f (x) = 0

?
bei

x = 3!

f (f (x)) = g (x)

hat also an der Stelle

g (3)

die Steigung 0.

So?

Roman-22

22:58 Uhr, 19.03.2023

Nein!
Lies doch, was man dir schreibt!

f' (x)

ist Null, wenn

x = 3

ist

f' (f (x))

ist Null, wenn

f (x) = 3

ist und das ist an zwei Stellen

x

der Fall.

g' (x) = f' (x) \cdot f' (f (x)) = 0

ist also an insgesamt drei Stellen

x

der Fall!

Vergiss die Vorstellung von Steigung und Graph von

g (x)

und nimm es pragmatisch.
Wir wissen dass

f' (3) = 0

gilt und wollen wissen, wo

f' (x) \cdot f' (f (x)) = 0

gilt und daraus folgt direkt, dass entweder

x = 3

gelten muss oder

f (x) = 3

Randolph Esser aktiv_icon

00:17 Uhr, 20.03.2023

Vielleicht hilft es,

wenn man

f'

mal kurz in

z . B

h

umtauft und

0 = f' (f (x)) \cdot f' (x)

als

0 = (h \circ f) (x) \cdot h (x)

\Leftrightarrow ((h \circ f) (x) = 0 \lor h (x) = 0)

\Leftrightarrow (x \in A \lor f (x) \in A)

mit

A := {x \in D_{h} : h (x) = 0}

(D_{h}

sei die Definitionsmenge von

h)

schreibt .

Hierzu empfiehlt sich dann

z . B

. noch

de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)

.

Quadratsepp aktiv_icon

20:03 Uhr, 22.03.2023

Also Danke an alle engagierten Helfer! :-)

Ich bin zwar immer noch nicht ganz dahinter gekommen, aber ich bin dran!
Denn das wäre die erste Aufgabe in meiner "Mathelaufbahn" die ich nicht verstanden hätte. :-D)

Randolph Esser aktiv_icon

20:57 Uhr, 22.03.2023

Hier gibt's nichts zu verstehen.
Du hängst da irgendwelchen Dingen nach,
die nicht Realität sind. Die Begriffe
Funktion und Ableitung scheinen bei Dir
nicht richtig erschlossen zu sein.
Das ist fatal.
Und dass

f'

die Ableitung von

f

ist,
spielt hier sowieso keine Rolle, sondern nur,
dass

f'

eine Funktion ist,
was ich durch die Namensänderung betonen wollte.
Hier steht alles doppelt
und dreifach, was zu der Aufgabe zu sagen
wäre.

Wieso gibst Du auf und hakst ab ?

Komm mal runter von Deinem kleinen Überfliegermodus
und arbeite das auf !

Quadratsepp aktiv_icon

21:48 Uhr, 22.03.2023

sag ich ja; ich bin dran.
Was bedeutet: ich bleibe dran, nur hab ich halt nicht permanent Zeit, mich mit Mathe zu beschäftigen.

Ich wollte mit dem post nur zeigen, dass ich eure Gedanken schätze und diese nicht unkommentiert ins Nichts verhallen lassen möchte, das ist alles. :-)

Vom Überfliegertum bin ich mich weit entfernt, außer du spichst von schnellem und dadurch fehleranfälligem Lesen, das kann passieren :-D)

Randolph Esser aktiv_icon

23:02 Uhr, 22.03.2023

Falls Du mal Zeit hast:

v, w : R \to R

seien Funktionen.

Nullstellen von

v

sind genau diejenigen

x \in R,

für die

v (x) = 0

gilt.

Und jetzt, Achtung, Gehirnsalto !

Nullstellen von

v \circ w

sind genau diejenigen

x \in R,

für die

w (x)

Nullstelle von

v

ist

(und diese

x

sind im allgemeinen nicht Nullstelle von

v)

Randolph Esser aktiv_icon

20:49 Uhr, 24.03.2023

Eine Übungsaufgabe für Dich:

Gegeben seien die Funktionen

v : R \to R, x \mapsto 3 x + 5

und

w : R \to R, x \mapsto 5 x + 2

.

Berechne die jeweils einzige Nullstelle von

v, w, v \circ w

und

w \circ v

.

Berechne die jeweils zwei Nullstellen von

(v \circ w) \cdot v

und

(w \circ v) \cdot w

Quadratsepp aktiv_icon

21:55 Uhr, 25.03.2023

Danke für deine Mühe, Kartoffelkäfer. :-)

Antwort kommt

. .

Quadratsepp aktiv_icon

22:16 Uhr, 25.03.2023

Danke für deine Mühe, Kartoffelkäfer. :-)

Antwort kommt

. .

Randolph Esser aktiv_icon

22:47 Uhr, 25.03.2023

Ich mache es mal für

v, v \circ w

und

(v \circ w) \cdot v

vor .

Für

v

gilt

v (x) = 3 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{3}

.

Für

v \circ w

gilt

(v \circ w) (x) = v (w (x)) = 0 \Leftrightarrow w (x) = 5 x + 2 = - \frac{5}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{11}{15}

.

Bem.: Hier hätte man auch

(v \circ w) (x) = v (w (x)) = 3 (5 x + 2) + 5 = 15 x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{11}{15}

rechnen können. Dann hätte man aber die Struktur nicht genutzt,

also, dass die Nullstelle von

v

schon bekannt ist.

Für

(v \circ w) \cdot v

ist nun sofort klar, dass

((v \circ w) \cdot v) (x) = (v \circ w) (x) \cdot v (x) = v (w (x)) \cdot v (x) = 0 \Leftrightarrow x \in {- \frac{5}{3}, - \frac{11}{15}}

.

Bem.: Auch hier kann man rechnen,

muss es aber nach zuvor Geleistetem eben nicht mehr .

((v \circ w) \cdot v) (x) = (v \circ w) (x) \cdot v (x) = v (w (x)) \cdot v (x) = (3 (5 x + 2) + 5) \cdot (3 x + 5)

= (15 x + 11) \cdot (3 x + 5) = 45 x^{2} + 108 x + 55 = 0

\Leftrightarrow x^{2} + \frac{108}{45} x + \frac{55}{45} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{11}{9} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{6}{5} \pm \sqrt{\frac{36}{25} - \frac{11}{9}}

\Leftrightarrow x \in {- \frac{5}{3}, - \frac{11}{15}}

Quadratsepp aktiv_icon

21:20 Uhr, 02.04.2023

Ok, ich bin back. :-D)

tricky war zunächst, was dieser "Skalar"- Multiplikationspunkt zwischen den Funktionen zu suchen hat, kannte dieses Zeichen bisher nur aus der Geometrie.
Aber ich habs gecheckt, es handelt sich hierbei um den "Kringel".

Meine Lösung zu deiner Übung im Anhang, Kartoffelkäfer.

Randolph Esser aktiv_icon

21:51 Uhr, 02.04.2023

Ja, richtig, gute Arbeit.

Für

w \circ v

kann man das Ergebnis noch kürzen:

- \frac{27}{15} = - \frac{9}{5}

.

Bezüglich des Kompositionskringels hatte ich übrigens

oben den Wikipedia-Link hinterlassen...

Nun hast Du ja alles durchgerechnet,

das schadet natürlich nicht, aber ich möchte

nochmal betonen, dass der eigentliche Trick hier ja ist,

genau das nicht zu tun.

Für

(w \circ v) \cdot v

kannst Du ohne jede Rechnung die zuvor

berechneten Nullstellen von

w \circ v

und

v

angeben:

- \frac{9}{5}

und

- \frac{2}{5}

.

Und Bei

w \circ v

kann man

v (x) = - \frac{2}{5}

statt

(w \circ v) (x) = w (v (x)) = 0

ausrechnen,

da ja

- \frac{2}{5}

die einzige Nullstelle von

w

ist

(Denn wenn

v (x) = - \frac{2}{5}

ist, ist

(w \circ v) (x) = w (v (x)) = w (- \frac{2}{5}) = 0)

Quadratsepp aktiv_icon

22:46 Uhr, 02.04.2023

Ich musste das alles mal durchrechnen um zu verstehen um was es da überhaupt geht, wie verkettete Funktionen aufgebaut sind und wie sie "funktionieren".
Das hat mir sehr geholfen, denn, um zurück zum Ausgangspost zu kommen;
In dieser Aufgabe muss der Gedanke, dass mittels verketter Funktion eine bestimmter Wert bestimmt werden soll, ja quasi "rückwärts" gedacht werden.
Mein Problem war; ich konnte es nicht mal "vorwärts" :-D)

Aber ich hab nun auch die Abiturfrage zu meiner Zufriedenheit lösen können (Anhang)

Danke für die Mühen, ich weiß den investierten (zeitlichen) Aufwand zu schätzen. :-)

Randolph Esser aktiv_icon

22:58 Uhr, 02.04.2023

Ja, gut ! Darum geht es !

Bruce versucht, jeden Tag
ein bisschen besser zu sein
als der Bruce von gestern.

Wollte noch eine Rechnung anhängen...

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