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Kettenregel Polynomfunktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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13:38 Uhr, 03.01.2016

Hallo zusammen.
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe aus einem E-Test. Die Lösung habe ich bereits, meine Frage bezieht sich mehr auf das "Warum" und auf das Vorgehen.
Die Aufgabe lautet:

"Es sei

g

eine beliebige zwei mal differenzierbare reelle Funktion und

f

die durch

f (x) =

g(−7x3+4x−4)

gegebenen reellen Funktion

f

. Die zweite Ableitung f′′ hat die Gestalt

f′′(x) = P1(x)g′(P2(x))+P3(x)g′′(P4(x))

mit Polynomfunktionen Pj(x),

j = 1,2,3,4

.

Geben Sie Pj(x),

j = 1,2,3,4,

ein."

Die Lösung:

"Richtige Lösung für

P 1 (x), P 2 (x) P 3 (x), P 4 (x)

sind alle Ausdrücke, die zu

- 42 x

bzw.

- 7 x^{3} + 4 x - 4

bzw.

{(- 21 x^{2} + 4)}^{2}

bzw.

- 7 x^{3} + 4 x - 4

äquivalent sind."

Wieso ist

P 1 (X)

"-42x", warum ist

P 3 (x)

"(-21x^2+4)^2" und warum wird

P 3 (x)

quadriert?

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus für eure Antworten und hoffe, dass meine erste Frage hier richtig gestellt wurde. Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

13:57 Uhr, 03.01.2016

Leite doch mal selbst

f (x) = g (- 7 x^{3} + 4 x - 4)

zwei mal ab, beachte dabei die Kettenregel (und bei der zweiten Ableitung natürlich die Produktregel).

Schreib uns hier auf, was du dabei erhalten hast und vergleiche dein Ergebnis Term für Term mit

f'' (x) = P 1 (x) \cdot g' (P 2 (x)) + P 3 (x) g'' (P 4 (x))

R

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14:09 Uhr, 03.01.2016

Moin.
Vielen Dank für deine Antwort.
Wenn ich

f (x) = (- 7 x^{3} + 4 x - 4)

ableite, komme ich auf

f' (x) = (- 21 x^{2} + 4) \cdot (- 7 x^{3} + 4 x - 4)

und auf

f'' (x) = - 42 x \cdot (7 x^{3} + 4 x - 4) + (- 21 x^{2} + 4) \cdot (- 21 x^{2} + 4) = - 42 x \cdot (7 x^{3} + 4 x - 4) + {(- 21 x^{2} + 4)}^{2}

Vielen Dank für deinen Tipp. Jetzt ist mir schon vieles klar geworden. Nun frage ich mich aber, wie ich auf

P 4 (x)

komme?! Habe ich da etwas falsch gemacht / verstanden?
Danke!

ledum aktiv_icon

15:59 Uhr, 03.01.2016

Hallo
bisher nichts falsch, aber du willst ja

g (f)

ableiten, tu das dann findes du auch

P_{4}

Gruß ledum

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17:30 Uhr, 03.01.2016

Bitte entschuldigt, dass ich noch einmal nachfrage. Mir ist der unterschied leider nicht ganz bewusst. Könnte das jemand noch mal erklären?! Danke!

Roman-22

18:51 Uhr, 03.01.2016

Deine Ableitungen sind doch falsch!
Du leitest erst

f (x)

richtig ab, multiplizierst dann aber noch mit

f (x)

. Warum?

Du hast es mit einer verketteten Funktion zu tun und musst bei den Ableitungen daher die Kettenregel anwenden:

[g (f (x))]' = g' (f (x)) ⋆ f' (x)

Dabei ist

f (x) = - 7 x^{3} + 4 x - 4

und

g

nicht näher bekannt, weswegen

g' (f (x))

eben einfach so stehen bleiben muss. Für

f' (x)

kannst du ja dein (nun hoffentlich richtiges) Ergebnis einsetzen.
Beachte, dass

[g (f (x))]'

nicht das Gleiche ist wie

g' (f (x))

. Im zweiten Fall wird nur die äußere Funktion

g

abgeleitet.

Jetzt bilde die zweite Ableitung unter Verwendung der Produkt- und natürlich wieder der Kettenregel.

R

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14:40 Uhr, 04.01.2016

Moin.
Vielen Dank für deine Antwort. Ich hoffe ich habe deine sehr gute Erklärung richtig umgesetzt:

f' (x) = g' (- 7 x^{3} + 4 x - 4) \cdot (- 21 x^{2} + 4)

f'' (x) = {(- 21 x^{2} + 4)}^{2} \cdot g'' (- 7 x^{3} + 4 x - 4) + (- 42 x) \cdot g' (- 7 x^{3} + 4 x - 4)

Vielen Dank nochmal!

Roman-22

22:31 Uhr, 04.01.2016

Ja, das passt jetzt alles und wenn du die entsprechenden Terme vergleichst, kommst du ja genau auf die Lösungen. Aber das hast du vermutlich selbst auch schon festgestellt.

Wenns keine Rückfragen mehr gibt, Thread bitte abhaken.

R

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13:42 Uhr, 05.01.2016

Vielen Dank!

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