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Kettenregel nicht verstanden ....

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kettenregel

Malbersa aktiv_icon

19:40 Uhr, 16.01.2019

Hallo,

sitze gerade vor einem kleinen Problem und möchte die Kettenregel anwenden. Offensichtlich habe ich sie nicht verstanden. Ich weiß auch nicht, ob das Thema in Algebra nicht besser aufgehoben wäre. Man verzeihe mir im Falle das.

Also, ich leite ab:

x(2xy

- 1)

nach

x

und erhalte nach vorherigem ausmultiplizieren:

d

(2yx^2-x)

/ d x =

4yx

- 1

wenn ich die Kettenregel anwende und zunächst

u (v (x))

und dann

v (x)

nach

x

ableite, komme ich auf:

d

x(2xy-1)/d

x =

4xy

- 2 y

mit

u' (v (x)) = 1 \cdot

(2xy

- 1)

und

v' (x) = 2 y

Die Gleichungen müssten ja identisch sein. Wo mache ich einen (wahrscheinlich trivialen) Fehler?

Danke und viele Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

20:01 Uhr, 16.01.2019

f (x, y) = x \cdot (2 \cdot x \cdot y - 1)

f_{x} =

?
Kettenregel ? Du meinst wohl Produktregel.

(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

f (x, y) = 2 \cdot x^{2} \cdot y - x \Rightarrow f_{x} (x, y) = 4 \cdot x \cdot y - 1

f (x, y) = x \cdot (2 \cdot x \cdot y - 1) \Rightarrow f_{x} (x, y) = 1 \cdot (2 \cdot x \cdot y - 1) + x \cdot 2 \cdot y = 4 \cdot x \cdot y - 1

Roman-22

20:21 Uhr, 16.01.2019

Kläre doch bitte zuerst,

1)

ob du von

f (x, y) = x \cdot (2 \cdot x \cdot y - 1)

ausgehst und

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} =

? suchst, oder

2)

ob du von

x \cdot (2 \cdot x \cdot y (x) - 1) = 0

ausgehst und

\frac{d y (x)}{d x} =

? suchst.

Nur im zweiten Fall würde (implizites Differenzieren) dein Hinweis auf die Kettenregel Sinn machen.

Malbersa aktiv_icon

20:56 Uhr, 16.01.2019

Danke für die Antworten.

Von letzterem ist auszugehen, also

y (x)

. wie ist in diesem Fall zu verfahren? Ich sehe ein, dass die Produktregen an der Stelle mehr Sinn macht. Jetzt interessiert mich aber das Ergebnis von Fall 2. Ist die innere Funktion demnach:

2 x y (x)

oder

2 x y (x) - 1

Roman-22

22:24 Uhr, 16.01.2019

>

Von letzterem ist auszugehen, also

y (x)

.
Wirklich? Na gut.
Es geht also um

y (x) = x \cdot (2 x y (x) - 1)

und gesucht ist

y' (x)

.

Zunächst mal macht es Sinn, erst auszumultiplizieren.

Also

y (x) = 2 x^{2} y (x) - x

und eben bemerke ich, dass ich zu ungenau gelesen hatte, denn auch hier macht implizites Differenzieren und die Kettenregel wenig Sinn.

Normalerweise würde man einfach nach

y

umstellen

y (x) = \frac{x}{2 x^{2} - 1}

und dann nach der Quotientenregel differenzieren

\to y' (x) = - \frac{2 x^{2} + 1}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}}

Aber man kann auch implizit differenzieren, also die Gleichung

y (x) = 2 x^{2} y (x) - x

beidseits nach

x

differenzieren:

y' (x) = 4 x y (x) + 2 x^{2} y' (x) - 1

Aufgelöst nach

y'

ergibt sich dann

y' (x) = \frac{1 - 4 x y (x)}{2 x^{2} - 1}

Würde man nun das oben explizit dargestellte

y (x)

einsetzen, erhält man wieder die vorhin angegebene Ableitung.
Allerdings würde man dieses implizite Differenzieren eher dann einsetzen, wenn die Funktion nicht nach

y

explizit aufgelöst werden kann. In diesem Fall kommt zwar leider in der Ableitung noch das

y (x)

vor, aber trotzdem kann auch diese Form für manche Berechnungen hilfreich und nützlich sein.

EDIT: Die Kettenregel wäre zB dann anzuwenden, wenn links anstelle von

y (x)

etwas wie

ln (y (x))

stehen würde. Das wäre dann abgleitet

\frac{1}{y (x)} \cdot y' (x)

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