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Kinematik Aufg+Lösung sorgt für Verständnisproblem

Schüler Fachgymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Kinematik, pq-Formel, Umformen

kostja aktiv_icon

21:33 Uhr, 07.09.2009

Hallo,

Ein Triebwagen fährt auf einer Station mit einer Beschleunigung von

0,2

m/s² an, erreicht seine Fahrtgeschwindigkeit, fährt gleichförmig weiter und bremst dann

500 m

vor der nächsten Station, um auf dem Bahnhof zum Stillstand zu kommen. Die Stationen liegen 5 km auseinander, die Fahrtzeit beträgt

6 min

. Berechnen Sie die Fahrtgeschwindigkeit!

Die Lösung:
v-t-Skizze anfertigen mit dem Wissen, dass der Flächeninhalt dem zurückgelegten Weg entspricht. Wobei ich die Skizze in drei Teile lege, erster Teil ist mit

s 1

der Beschleunigungsvorgang, zweiter Teil

s 2

die gleichförmige/konstante Geschwindigkeit und dritter Teil

s 3

der Bremsvorgang.

Vorhandene Informationen:
tg

= 6 min = 360 s

a = 0,2

m/s²

s 3 = 500 m

= 5

km

Nun stelle ich die Gleichung auf unter dem Wissen, dass der Flächeninhalt dem zurückgelegten Weg entspricht:
sg

= v \cdot

- s 3 - s 1

Alle Werte habe ich, ausser

s 1

s 1 = \frac{1}{2} \cdot t 1 \cdot v

v = a \cdot t 1

t 1 = \frac{v}{a}

s 1 = \frac{1}{2} \cdot v \cdot \frac{v}{a} = \frac{1}{2} \cdot

v²/a

Jetzt

s 1

einsetzen:
sg

= v \cdot

- s 3 - \frac{1}{2} \cdot

v²/a

Jetzt wird in der Lösung die Gleichung für die pq-Formel umgeformt:

\frac{1}{2} a \cdot

v²

- v \cdot

+ s 3 +

= 0

v²

- 2 a \cdot

\cdot v +

2a(s3+sg)

= 0

v \frac{1}{2} =

-atg/-2

\pm

Wurzel (-2atg/2)² - 2a(s3+sg)

= a \cdot

\pm

Wurzel a²

\cdot

tg² - 2a/s3+sg)

= 0,2

m/s²

\cdot 360 s \pm

Wurzel

(0,2

m/s²)²

\cdot

360s²

- 2 \cdot 0,2

m/s²

\cdot (500 m + 5000 m)

= 72 \frac{m}{s} \pm 54,6 \frac{m}{s}

v 1 = 126,6 \frac{m}{s}

v 2 = 17,4 \frac{m}{s}

v 1

ist unrealistisch für einen Triebwagen und somit ist

v 2

die richtige Lösung.

Ich habe nun folgende Probleme:
1. Wie erkenne ich bei so einer Aufgabe, dass ich die pq-Formel anwenden muss? Ich meine im mathematischen Bereich bei der Kurvendiskussion leuchtet mir das ein, aber hier würde ich ohne die Lösung niemals drauf kommen. Das einzige Anzeichen für mich wäre die v² bei der Ermittlung von

s 1

. Ich kann mir das aber auch grafisch nicht vorstellen.

2. Scheinbar kenne ich nicht alle mathematischen Grundregeln, denn ich kann nicht nachvollziehen, warum die Werte sich bei der Umformung für die pq-Formel so ändern können, wie sie es tun. Kann mir einer da helfen oder es erklären?
Folgenden sind gemeint, vor allem wie das a bei

\frac{v}{a}

rausgelöst werden kann, warum sg positiv ist, wenn es auf der anderen Seite auch positiv war und warum vor der Klammer in der zweiten Gleichung

2 a

ein zweites mal auftaucht.

\frac{1}{2} a \cdot

v²

- v \cdot

+ s 3 +

= 0

v²

- 2 a \cdot

\cdot v +

2a(s3+sg)

= 0

Danke.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

Photon aktiv_icon

21:40 Uhr, 07.09.2009

Naja, bei einer Physikaufgabe schreibst du ausgehend von der physikalischen Situation Gleichungen auf, setzt sie ineinander ein und wenn am Ende die gesuchte Variable quadratisch vorkommt, brauchst du die Mitternachtsformel. Und dass beim Umformen der physikalische Sinne nicht mehr nachvollziehbar wird, ist eigentlich normal, also macht es keinen Sinn, nach dem Sinn einer Variable in einer aus mehreren Anfangsgleichungen zusammengewurstelten Gleichung zu fragen.

DK2ZA aktiv_icon

21:40 Uhr, 07.09.2009

Bei mir lautet die erste Gleichung

s_{1} + v \cdot t_{2} + s_{3} = s_{g}

GRUSS, DK2ZA

kostja aktiv_icon

21:50 Uhr, 07.09.2009

Damit hast du mir die erste Frage beantwortet, aber ich würde gern noch wissen, was die Mitternachtsformel ist und wann sie zum Einsatz kommt? Ich höre zum ersten mal davon, vielleicht kenne ich es auch nur unter einem anderen Begriff.

Die zweite Frage beschäftigt mich auch noch:
2. Scheinbar kenne ich nicht alle mathematischen Grundregeln, denn ich kann nicht nachvollziehen, warum die Werte sich bei der Umformung für die pq-Formel so ändern können, wie sie es tun. Kann mir einer da helfen oder es erklären?
Folgende sind gemeint, vor allem wie das a bei

\frac{v}{a}

bei der ersten rausgelöst werden kann, warum sg positiv ist, wenn es auf der anderen Seite auch positiv war und warum vor der Klammer in der zweiten Gleichung

2 a

ein zweites mal auftaucht (vorher gabs das auch nur einmal):
12a⋅ v² -v⋅ tg

+ s 3 +

= 0

v² -2a⋅ tg ⋅v+ 2a(s3+sg)

= 0

edit:
@DK2ZA, wie soll das funktionieren? du musst beachten, dass in

s 1

er beschleunigt und in

s 3

bremst (wie ein dreieck im v-t-diagramm vorstellen). dann ist deine formel doch nicht mehr richtig? ich habe ganz

v

und

t

genommen, also

s 1

und

s 3

nicht als dreieck, sondern viereck und jetzt ziehe sie ab, damit ich wieder nur die beiden tatsächlichen dreieecke habe.

DK2ZA aktiv_icon

22:01 Uhr, 07.09.2009

Ich blicke nicht ganz durch, bei dem, was du da gemacht hast. Also mal der Reihe nach:

Beim Beschleunigungsvorgang zurückgelegte Strecke

s_{1} = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \frac{m}{s^{2}} \cdot t_{1}^{2}

Dabei erreichte Geschwindigkeit:

v = 0,2 \frac{m}{s^{2}} \cdot t_{1}

Mit konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Strecke:

s_{2} = v \cdot t_{2}

Bremsvorgang mit Bremsbeschleunigung

a_{B} :

Bremsweg ist

s_{3} :

s_{3} = 500 m = \frac{1}{2} \cdot a_{B} \cdot t_{3}^{2}

Es muss von

v

heruntergebremst werden auf Null:

v = a_{B} \cdot t_{3}

Die Gesamtstrecke beträgt

5000 m :

s_{1} + s_{2} + 500 m = 5000 m

Die Gesamtzeit beträgt 6 Minuten

= 360 s :

t_{1} + t_{2} + t_{3} = 360 s

Das sind 7 Gleichungen für die 7 Unbekannten

s_{1}, s_{2}, v, t_{1}, t_{2}, t_{3}

und

a_{B}

.

Sollte lösbar sein!

kostja aktiv_icon

22:10 Uhr, 07.09.2009

Ich habe wegen deinem Vorschlag für die erste Gleichung von meinen vorletzten Beitrag editiert.
Bei der von mir geposteten Lösung handelt es sich um die mir vorgegebene richtige Lösung, auf die ich selbst so nie gekommen wäre. Ich komme nur bis zur Umformung der Gleichung für die PQ-Formel.

Mir fehlt imgrunde nur ein Wert, wie

z . B

V

bei der gleichförmigen Bewegung oder

t 1,

dann würde ich den rest auch ermitteln können. Das ist leider nicht so meine Stärke.

DK2ZA aktiv_icon

22:47 Uhr, 07.09.2009

Ich habe nun

s_{1}

und

s_{2}

in die 6. Gleichung eingesetzt. Da waren es noch 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten.

Dann habe ich

v

eliminiert, danach

a_{B},

dann

t_{2}

und schließlich

t_{3}

(Viel Schreiberei!).

Übrig blieb folgende Gleichung für

t_{1} :

t_{1}^{2} - 720 s \cdot t_{1} + 55000 s^{2} = 0

Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel genannt, weil man sie zu jeder Zeit auswendig können muss) liefert für

t_{1}

die Werte

86,87 . . s

und

633, . . s

.

Klar ist, dass

t_{1} = 86,87 s,

denn

633, . . s

sind mehr als 6 Minuten.

Daraus folgt

v = 0,2 \frac{m}{s^{2}} \cdot t_{1} = 17,374 \frac{m}{s}

GRUSS, DK2ZA

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