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Klassifikation von Flächen
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, kombinatorische Topologie
 
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Hallo liebe Community, Warum kann ich annehmen, dass zwei Flächen die diesselbe Randkurve besitzen homöomorph sind? Ich kann ja nicht einfach sagen weil es ein Homöomoprhismus zwischen den beiden Kurven gibt.... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du musst den Kontext schon genauer spezifizieren. Denn so allgemein ausgesprochen lässt sich leicht ein Gegenbeispiel (angeschnittener Torus) finden. Gruß ermanus |
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Es geht lediglich um kombinatorische Flächen ohne Rand. |
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Könntest du hier den genauen Wortlaut der Stelle (mit Umfeld) wiedergeben, in der diese Behauptung verwendet wird? |
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Wenn wir eine Fläche wie zum Beispiel die Sphäre mit zwei angebrachten Henkeln betrachten. Dann können wir ja die Fläche derart aufschneiden (für jeden Henkel nehmen wir ein Paar einfach geschlossener Kurven die sich einmal um den Henkel winden. Die Kurven besitzen denselben Ursprung, der Rest von ihnen ist disjunkt.), dass wir unsere Fläche als 8-seitiges Polygon darstellen, wobei wir jeweils zwei der Kanten immer miteinander identifizieren. Wir können dann unsere Fläche mit dem Kantenwort beschreiben. Warum sind dann zwei Flächen die dasselbe Kantenwort besitzen homöomorph? |
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Hallo, ich kenne eure Herleitung des Kantenwortes nicht, gehe aber davon aus, dass ihr eine Triangulierung und die Schnitte so vornehmt, dass letztere längs Kanten (1-dim. Simplizes) stattfinden. Auf diese Weise erhaltet ihr ja ein -Polygon, dessen Außenseiten den aufgeschnittenen Kanten der Triangulierung entsprechen. Die Kantenwörter geben nun an, wie man den Aufschneideprozess wieder zurücklaufen kann, indem man die mit gleichen Buchstaben versehenen Seiten miteinander direkt oder umgekehrt identifiziert. Hat man nun zwei -Polygone, so sind diese sicher homöomorph, und es dürfte kein Problem geben, einen Homöomorphismus so zu wählen, dass er die Seiten in der Reihenfolge der "Buchstaben" im Kantenwort zuordnet. Die Identifikation der gleichbuchstabigen Seiten (direkt oder retrograd) ist der Übergang vom -Eck zum entsprechenden Quotientenraum. Nun ist meine etwas naive Vorstellung, dass dabei die homöomorphen -Polygone in homöomorphe Quotientenräume übergehen. Genauer müsste man dies über die Simplizialapproximation etc. begründen. Mehr weiß ich leider nicht dazu ... Gruß ermanus |
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