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Klassifizieren Kurve 2.Gr. Hauptachsentransformat

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Determinanten

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinanten, Matrizenrechnung, Vektorraum

Julie356 aktiv_icon

16:37 Uhr, 19.01.2015

Klassifizieren Sie folgende Kurve zweiten Grades mittels Hauptachsentransformation.

x^2-2xy+y^2=16

Kann mir hier bitte jemand bei diesem Beispiel helfen?

Wann bin ich eigentlich fertig? Nachdem ich aus den Eigenvektoren die Transformationsmatrix gebildet habe oder gehts dann noch weiter?

Bin um jede Hilfe dankbar

=)

Lg Julia

michaL aktiv_icon

16:56 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

bitte schau mal www.onlinemathe.de/forum/Wie-funktioniert-die-Hauptachsentransformation an.
Vielleicht seid ihr euch auch über den Weg gelaufen...

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

17:05 Uhr, 19.01.2015

ok, danke das ist mal ein Anfang, wobei es nicht eindeutig beantwortet wird.
Kennst du vielleicht die Lösung oder hast mir noch einen guten Ansatz.

Ist quasi ein Notfall und

i

bräuchts wirklich dringend.

michaL aktiv_icon

17:40 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

hm, wo liegt denn genau das Problem?

Mfg Michael

PS: Eine eher umständliche Darstellung der Vorgehensweise findet sich unter
http//de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation

Julie356 aktiv_icon

17:52 Uhr, 19.01.2015

Die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen kann ich.

Eigenwerte 2 und 0
Eigenvektoren

(- 11)

und

(11)

Danach vertue ich mich immer wieder, mir fehlt glaube ich der Überblick oder das Gesammtverständniss, damits mit der Transformationsmatrix klappt.

michaL aktiv_icon

18:02 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

> Die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen kann ich.
[...]
> Danach vertue ich mich immer wieder, mir fehlt glaube ich der Überblick oder das Gesammtverständniss, damits
> mit der Transformationsmatrix klappt.

Siehe de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Drehung , 2. Absatz.

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

18:09 Uhr, 19.01.2015

Ok, nun bekomme ich als Diagonalmatrix

00

02

aber ab da hänge ich immer noch.

Ps: Vielen Dank für deine Hilfe

michaL aktiv_icon

18:30 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

schreibe die Quadrik nun als Gleichung ohne Vektoren.
Diese ist (hier) schon so ziemlich in Normalform. Du müsstest eine Tabelle haben, die dir angibt, welche Art von Quadrik du vorliegen hast.

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

18:49 Uhr, 19.01.2015

ok als Gleichung habe ich nun

(x, y) \cdot D \cdot {(x, y)}^{t} - 16 = 0

Was muss ich hier genau mit was Multiplizieren?

Könntest du mir diesen Schritt ausrechnen?

michaL aktiv_icon

18:52 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

na eben ohne Vektoren.
Dann ergibt sich doch

2 y^{2} = 16

.

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

18:59 Uhr, 19.01.2015

Die Lösung ist mir klar aber der letzte Rechnerschritt ad

D

nicht mehr.
Könntest du mir das noch Schrittweise erklären, ich wäre dir wirklich dankbar

=)

michaL aktiv_icon

19:11 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

du musst doch

(x, y) (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})

berechnen.
Sag mir nicht, dass du das nicht hinbekommst?!

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

19:15 Uhr, 19.01.2015

Doch das schon, aber warum nur das?

Als Ergebnis bekomme ich

2 y^{2} = 16

Wie komme ich dann auf

y = \pm 4

?
Weil x^2-2xy+y^2=16 ist

{(x - y)}^{2} = 16

was

x - y = 4

ist.

michaL aktiv_icon

19:21 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

also, dir ist klar, wie man auf

2 y^{2} = 0

kommt?

> Wie komme ich dann auf y=±4?

Nun willst du mir aber nicht verkaufen, dass du nicht diese (recht einfache quadratische) Gleichung zu lösen in der Lage bist, oder?

> Weil x^2-2xy+y^2=16 ist (x−y)2=16 was x−y=4 ist.

Hm, du hast nicht verstanden, was bei der Hauptachsentransformation passiert.
In diesem Fall wurden die Hauptachsen gedreht. Dadurch verändert sich die entsprechende Gleichung.
Den Zusammenhang zu

(x - y)^{2} = 16

(und wie man die GLeichung RICHTIG auflöst) machen wir später!

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

19:27 Uhr, 19.01.2015

Genau, du hast das richtig erkannt.
Mir fehlt nur noch der letzte Teil mit der Drehung. Hättest du vielleicht noch jetzt kurz Zeit, weil wenn ich es morgen nicht präsentieren kann falle ich durch.

Mit freundlichen Grüßen Julia

michaL aktiv_icon

21:45 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

sorry, hatte eben keine Zeit.

Was ist denn noch unklar?

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

21:51 Uhr, 19.01.2015

Wie ich von

2 y^{2} = 16

weiter machen soll.

Lg Julia ;-)

michaL aktiv_icon

21:54 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

entschuldige, das ist Schulniveau.
Du sollst die Gleichung nach

y

auflösen!

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

21:56 Uhr, 19.01.2015

Das löst mein Problem mit der Drehung nicht denn von

2 y^{2} = 16

komme ich nicht auf

y = \pm 4

Lg Julia

michaL aktiv_icon

21:59 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

sorry, ich würde dir gern helfen, aber du wehrst dich. Ich kann dir offenbar nicht helfen.

Mfg Michael

Julie356 aktiv_icon

22:01 Uhr, 19.01.2015

Nein tue ich wirklich nicht, ich bin nur müde und lerntechnisch am Ende.
Harte Prüfungswoche und privat noch härter. Bin wirklich um Hilfe dankbar.

Lg Julia

Julie356 aktiv_icon

22:06 Uhr, 19.01.2015

Du hast doch gesagt, dass wir den Zusammenhang und wie man die Gleichung richtig auflöst später machen.

Lg Julia

michaL aktiv_icon

07:48 Uhr, 20.01.2015

Hallo,

sorry, hab deine Posts nicht mehr gestern gelesen: Feierabend.

Also, ich dachte, dass man per

2 y^{2} = 16 ∣ \div 2

y^{2} = 8 ∣ \pm \sqrt{}

auf

y = \pm \sqrt{8}

von alleine kommen kann (Schulniveau, nicht einmal höheres).

D.h. NACH der Hauptachsentransformation ist dein "Kegelschnitt" offenbar ein paralleles Geradenpaar (parallel zur

x

-Achse).

Wie steht das in Zusammenhang zu

x^{2} - 2 x y + y^{2} = 16

? (Und das wollte ich nach der obigen Auflösung klären!)

Nun, es gilt ja

x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2} = 16 \overset{}{\Leftrightarrow} x - y = \pm 4 \overset{}{\Leftrightarrow} y = x \pm 4 \overset{}{\Leftrightarrow} y = x - 4 \lor y = x + 4

.
Also auch zwei parallele Geraden, die aber nun im 45° Winkel die

x

-Achse schneiden.
Offenbar haben wir durch die Hauptachsentransformation eine Drehung durchgeführt.

Also (im Prinzip) der gleiche "Kegelschnitt". Und das war vermutlich die Aufgabe!

Mfg Michael

EDIT: Unfug gelöscht

Julie356 aktiv_icon

07:54 Uhr, 20.01.2015

Danke

=)

die Gleichung nach

y

Auflösen war kein Problem, jedoch habe ich nur nicht verstanden wie ich y=wurzel(8) im Ergebnis interpretiern kann. Also Rechnerisch klar, jedoch konnte ich es mit nur nicht vorstellen.

Danke für die tolle Erklärung ;-)

Lg Julia

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