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Klassifizierung Partieller Differentialgleichungen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

Kritiker aktiv_icon

16:42 Uhr, 24.01.2023

Hallö!
Ich habe folgende DGL(siehe screenshot). Ich muss die gegebene DGL klassifizieren. Als Lösung bekomme ich, dass die DGL "Hyperbolisch" ist. In den Lösungen steht aber, dass DGL "Elliptisch" ist. Verstehe nicht warum...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Punov aktiv_icon

11:36 Uhr, 25.01.2023

Hallo, Kritiker!

Die allgemeine Form einer linearen zweidimensionalen PDE zweiter Ordnung ist

a_{11} u_{x x} + 2 a_{12} u_{x y} + a_{22} u_{y y} + b_{1} u_{x} + b_{2} u_{y} + c u = f (x, y)

und den Typ kannst du mittels der Determinante der Matrix

A = (\begin{array}{rcl} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})

bestimmen. In deinem Fall sind

a_{11} = 2

und

a_{12} = a_{21} = a_{22} = 1

Somit ist Determinante

1

, also positiv; die PDE ist damit elliptisch.

Viele Grüße

Kritiker aktiv_icon

12:50 Uhr, 25.01.2023

Verstehe nicht wieso ist

a 12

und

a 21 = 1

. Der Koeffizient ist ja gleich 2.

Punov aktiv_icon

12:54 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

die

2

steht da als Faktor vor dem Koeffizient

a_{12}

von

u_{x y}

immer wegen des Satzes von Schwarz, der

u_{x y} = u_{y x}

besagt (weswegen in der allgemeinen Form übrigens kein eigener Term für

u_{y x}

steht). Relevant in

2 a_{12}

ist also das

a_{12}

, in deinem Falle

2 \cdot 1

mit

a_{12} = 1

.

Viele Grüße

Kritiker aktiv_icon

14:01 Uhr, 25.01.2023

Danke!

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