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Kleine Frage bei Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Substitution

mathemeingegner aktiv_icon

17:56 Uhr, 14.09.2021

Hi,

Ich möchte gerne das Integral von

(\frac{1}{x}) \cdot \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}

lösen.

Hierfür habe ich die ganze Wurzel substituiert mit

t

t = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}

(...)²

Um die Wurzel wegzubekommen habe ich die beiden Seiten quadriert.

t²

= (\frac{1 - x}{1 + x})

Nun möchte ich die linke Seite mit

(1 + x)

multiplizieren und nach

x

auflösen um dann folglich nach

x

abzuleiten. Jedoch steht in meiner Musterlösung als Endergebnis für die Substitution ein Bruch. Was genau mache ich falsch? Wäre mega lieb wenn mir jemand helfen könnte, Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

supporter aktiv_icon

18:09 Uhr, 14.09.2021

mit Rechenweg:
www.integralrechner.de

mathemeingegner aktiv_icon

18:19 Uhr, 14.09.2021

Ich möchte es eigenständig machen & außerdem muss ich Substituion und Partialbruchzerlegung benutzen. Ich komme nur am Anfang nicht weiter beim umformen nach

x

pwmeyer aktiv_icon

19:40 Uhr, 14.09.2021

Hallo,

mir ist nicht klar, was Deine Frage ist. Du kannst so, wie Du beschrieben hast nach

x

auflösen. Mein Ergebnis:

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

Gruß pwm

mathemeingegner aktiv_icon

21:31 Uhr, 14.09.2021

Kannst du mir bitte deine Zwischenschritte verraten?

t²

\cdot (1 + x) = 1 - x

Wieso funktioniert denn 1 rüberholen und durch

(- 1)

teilen nicht?

Respon

21:49 Uhr, 14.09.2021

t^{2} \cdot (1 + x) = 1 - x

t^{2} + x \cdot t^{2} = 1 - x

x \cdot t^{2} + x = 1 - t^{2}

x \cdot (1 + t^{2}) = 1 - t^{2}

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

mathemeingegner aktiv_icon

22:01 Uhr, 14.09.2021

Danke euch vielmals!!

rundblick aktiv_icon

22:18 Uhr, 14.09.2021

.
hallo mathemeingegner : es bleibt von dir nun noch die Frage zu beantworten, wie
du nun mit diesem Ergebnis deinen Integral-Gegner ernsthaft gedenkst zu besiegen ?

\to \int \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \cdot d x = ... .

. ?
.

mathemeingegner aktiv_icon

22:30 Uhr, 14.09.2021

Ich lade hier morgen meine Rechnung als Bild hoch, vielleicht hilft es noch anderen. Der Endboss ist besiegt.

rundblick aktiv_icon

12:58 Uhr, 16.09.2021

.
" Der Endboss ist besiegt."

hm ..??
anständige Sieger verstecken sich nicht !

also: wo bleibt deine versprochene Rechnung ?

\to ... .

.
.

HAL9000 aktiv_icon

16:26 Uhr, 16.09.2021

Na wenn mathemeingegner sich drückt, hier zwar nicht die Rechnung, aber zum Ergebnisvergleich passende Stammfunktionen:

F (x) = 2 \arctan (\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}) - 2 artanh (\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}})

für

0 < x \leq 1

F (x) = 2 \arctan (\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}) - 2 arcoth (\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}})

für

- 1 < x < 0

.

Für

∣ x ∣ > 1

ist der Integrand eh nicht im Reellen definiert, und bei

x = 0

hat er eine Polstelle erster Ordnung.

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