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Kleine Quadrate

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Tags: Kleine Quadrate, Least Square

Michi98 aktiv_icon

16:37 Uhr, 17.06.2020

y: [-1,1]-->R mit Tabelle:

[(x, y), (- 0.9, 0.4), (- 0.7, - 0.22), (- 0.65, 0.04), (- 0.47, - 1.6), (- 0.22, 0.38), (- 0.1, - 0.13), (0.23, 0.33), (0.3, 1.34), (0.6, 1.61), (0.71, 0.97), (0.85, 1.14)]

Mithilfe der Least Square will man eine Approximation z von y finden, welche als Summe der sinus Funktion modelliert wird:

z = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} \cdot (\sin (k π x)

Der Ausdruck

\sum_{i = 1}^{11} (z (x_{i}) - y_{i})^{2}

soll minimiert werden.
Frage: Wie sieht die Normalengleichung für dieses Problem aus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:44 Uhr, 17.06.2020

Hallo
wie groß soll denn

n

sein? warum differenzierst du die Quadratsumme nicht einfach?
Gruß ledum

Michi98 aktiv_icon

16:46 Uhr, 17.06.2020

Achso ja das n soll kleiner 11 sein.
Was meinst du mit dem differenzieren der Quadratsumme?
Wie fange ich an, an die Normalgleichung zu kommen?

HAL9000

12:31 Uhr, 18.06.2020

Man muss das ganze nicht nochmal zu Fuß rechnen, da es sich in ein Standardmodell eintakten lässt: Es sich mit

de.wikipedia.org/wiki/Multiple_lineare_Regression

erledigen. D.h., aus deinen Ausgangsdaten

x_{i}

berechnet man

x_{i, k} = \sin (k π x_{i})

, bei angenommen

m

Datensätzen (bei dir anscheinend m=11) bilden diese Werte eine

m \times n

-Matrix

X

.

Zusammen mit den y-Daten

y \in ℝ^{m}

bekommt man den Koeffizientenvektor

b

als Lösung des Optimierungsprolems

{∥ X b - y ∥}^{2} \to min!

über

b \in ℝ^{n}

.

Diese optimale Lösung ist

\hat{b} = {(X^{T} X)}^{- 1} X^{T} y

, sofern diese Inverse existiert, was im Fall

n \leq m

sowie "allgemeiner Datenlage" i.d.R. der Fall ist.

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