Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kleiner Gauß beweisen , vollständige Induktion

Kleiner Gauß beweisen , vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: kleiner Gauß, Sonstiges, Vollständig Induktion

truemmerwolf aktiv_icon

17:45 Uhr, 18.09.2012

Hi ich habe zwei Fragen zur Summenformel.

Frage Nummer eins.

\sum_{k = 1}^{n} k = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{k} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Ich habe mir mal den Spaß gemacht und statt der a ein paar Zahlen genommen.

\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

wenn ich nun

n = 2

nehme da ich nur

1 + 2

rechnen möchte ist das dann so richtig in die Summenformel eingetragen ?

\sum_{k = 1}^{2} 2 = 1 + 2 = 3

oder kommt bei

k

eine 1 hin da es ja die Umlaufvariable ist wenn ich mich nicht irre.
Hier gibt die Summenformel die Summe aus den Sumanden an, aber wie sieht es im folgenden fall aus.

\sum_{k = 0}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot (\frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}

wenn ich dort für

k

eine der Zahlen von

1 - 6

einsetze erhalte ich als Ergebniss einen der Summanden und nicht die Summe der Summanden. das verwirrt mich zumal wen ich bei

\sum_{k = 1}^{2} 2 = 2

schreibe erhalte ich zwar den Summanden aus

1 + 2 = 3

aber nicht die Summe und das widerspricht doch der Aussage das

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

denn setze ich

n = 2

so erhalte ich 3 auf der rechten Seite der Gleichung , aber ich weiß nicht ob ich nun 2 oder 3 auf der linken Seite der Gleichung erhalte. Da würde es mich freuen wenn ihr mir ein wenig Klarheit verschafft.

Frage Nummer 2 Vollständige Induktion

Induktionsschluß mit

n = n + 1

\frac{n \cdot (n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{n \cdot (n + 1) + 2 (n + 1)}{2}

Ich sehe gerade nicht wie ich den Term umformen muss um auf

\frac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2}

zu kommen da brauch ich auch nochmal Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

17:58 Uhr, 18.09.2012

Hi,

also die Frage eins verstehe ich nicht ganz. Setzt du die beiden Summen

\sum_{k = 1}^{n} k

und

\sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1}

gleich? Da kommt i.A. nicht dasselbe raus, da die Summen nichts miteinander gemeint haben. Zudem kannst du nicht "k setzen", sondern du musst "n setzen" und k durchläuft dann alle Zahlen von

1

bis

n

, bzw.

0

bis

n

.

Zu deiner zweiten Frage: Klammer doch mal (n+1) aus ;-)

Gruß
Sina

Sina86

17:59 Uhr, 18.09.2012

Ach so, und es gilt

\sum_{k = 1}^{2} k = 1 + 2

. Wie gesagt, für das

k

kannst du keine feste Zahl eintragen...

truemmerwolf aktiv_icon

18:26 Uhr, 18.09.2012

ok bleiben wir erstmal beim

k

..ich habe ja in meinem zweiten term eine Summenformel in der das

k

in einem Term integriert ist.

\sum_{k = 0}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot (\frac{1}{k + 1})

und in meiner ersten Summenformel (es sind zwei verschiedene Aufgaben)steht.

\sum_{k = 1}^{n} k

Nun hatte ich die Vermutung das die gesamte Summenformel die Summe einer Addition/Subtraktion bildet.
was ja auch durch die vollständige Induktion gezeigt wird.
Jedoch habe ich bei der Summenformel

\sum_{k = 0}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot (\frac{1}{k + 1})

nicht die Summe der addierten Summanden bekommen ich zeige es dir.

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

setze ich , aber nun

k = 2

k_{0} = 1

und

K_{1} = - \frac{1}{2}

sind ein sieht es so aus

\sum_{k = 2}^{6}

(-1)^2*(1/(2+1))=1/3ich komme nun auf1/3 statt auf die Summe

\frac{5}{6}

oben bin ich aber durch den kleinen Gauß auf die Summe gekommen. Ich hoffe du verstehtst mein Problem ich weiß nicht ob ich mit der Summenformel die eigentliche Summe einer Addition oder einen bestimmten Summanden berechnen kann.

Danke für die Hilfe bei Frage zwei ich habe nicht gesehen das die Struktur folgende war

a \cdot (b) + c \cdot (b) = (b) \cdot (a + c)

Sina86

23:11 Uhr, 18.09.2012

Also, im allgemeinen kannst du eine Summe in der Form

\sum_{k = 0}^{n} f (k)

schreiben, wobei

f (k)

irgendein Term ist, der von

k

abhängig ist. Im Fall vom kleinen Gauß wäre das

f (k) = k

, im zweiten Fall wäre das

f (k) = (- 1)^{k} \frac{1}{k + 1}

. Die Summe

\sum_{k = 0}^{n} f (k) = f (0) + f (1) + . . . + f (n)

k

durchläuft alle Werte zwischen

k = 0, . . ., n

(kommt halt drauf an, was da an der Summe als obere und untere Grenze steht). Das Summenzeichen gibt dir natürlich nur eine Funktionsvorschrift für die GESAMTE Summe an, nicht für den einzelnen Summanden. Den erhälst du aber, wenn du einfach

f (2)

z.B. ausrechnest.

In dem Fall

\sum_{k = 1}^{2} 2

erhälst du im übrigen nicht als Ergebnis

= 1 + 2 = 3

. Denn hier ist

f (k) = 2

, und nach obiger Beschreibung hast du

\sum_{k = 1}^{2} f (k) = f (1) + f (2) = 2 + 2 = 4 \neq 3

. Das wäre also falsch, weil du einfach

f (k)

durch eine feste Zahl ersetzt. Aber man kann von einer Summe immer ein oberes Glied abspalten:

\sum_{k = 1}^{n + 1} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) + f (n + 1)

. Dann kann man auf dem linken Summenzeichen z.B. die Induktionsvoraussetzung anwenden und dann muss man noch

f (n + 1)

dazuaddieren und überprüfen, ob das zum Gesamtergebnis passt. Das hast du ja im Fall vom kleinen Gauß auch getan.

Ich hoffe ich hab deine Frage etwas klären können, denn ehrlich gesagt verstehe ich immer noch nicht ganz, was du meinst. Ich hab die Befürchtung, dass wir aneinander vorbei reden.

LG

Mokla aktiv_icon

17:21 Uhr, 22.11.2015

Schönen guten Tag, meine Frage bezieht sich ebenfalls auf das Ausklammern. ich verstehe nicht, wie ich

n + 1

ausklammern kann, um auf

\frac{n + 1}{2} \cdot \frac{n + 2}{2}

zu kommen. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1270366

1028938

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?