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Kleinster Abstand Gerade und Graph

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

sensen00 aktiv_icon

15:33 Uhr, 01.11.2017

Hallo zusammen

Folgende Aufgabe:

Welcher Punkt auf der Kurve

y = e^{- 3 x}

hat von der Geraden

y = - 2 x - 7

den kleinsten Abstand?

Ich habe irgendwo gesehen, wie es geht, wenn wir einen Punkt auf der Geraden hätten und den Punkt auf der Funktion suchten, der den kleinsten Abstand hat.
So habe ich aber keine Ahnung.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

15:39 Uhr, 01.11.2017

. .

. die Abstandsgerade steht ja normal zu deiner gegebenen Geraden! Und der Punkt auf

y = e^{- 3 x}

der den kürzesten Abstand zu deiner gegebenen Geraden hat hat eine zu ihr parallele Tangente.

;-)

sensen00 aktiv_icon

15:48 Uhr, 01.11.2017

Wenn das so ist, ist die Aufgabe ein wenig einfacher :-).

Hast du die Funktionen im TR eingegeben oder wieso weisst du, dass die Abstandsgerade normal zur gegebenen Gerade steht? Und wenn es so aussieht, darf ich das dann einfach annehmen oder würdest du das noch überprüfen?

Gruss

Yokozuna aktiv_icon

18:05 Uhr, 01.11.2017

Hallo,

da Edddi offenbar noch beim 5Uhr-Tee ist, springe ich mal ein.

Ob Du das einfach so annehmen darfst, dass die Abstandsgerade normal zur gegebenen Gerade ist, weiß ich auch nicht. Aber es geht natürlich auch ohne diese Annahme.

Sei

(x_{k}, y_{k})

ein Punkt auf der Kurve und

(x_{g}, y_{g})

ein Punkt auf der Geraden, dann ist ja der Abstand der beiden Punkte

d = \sqrt{{(x_{k} - x_{g})}^{2} + {(y_{k} - y_{g})}^{2}} = \sqrt{{(x_{k} - x_{g})}^{2} + {(e^{- 3 \cdot x_{k}} - (- 2 \cdot x_{g} - 7))}^{2}} =

\sqrt{{(x_{k} - x_{g})}^{2} + {(e^{- 3 \cdot x_{k}} + 2 \cdot x_{g} + 7)}^{2}}

Jetzt hat man eine Funktion der beiden Variablen

x_{k}

und

x_{g},

die man minimieren muss.

Da die Wurzel bei der Bildung der Ableitungen sehr lästig ist, kann man sich folgendes überlegen:

Wenn

d (\geq 0)

ein Minimum hat, dann hat auch

d^{2}

ein Minimum.

Also statt

d

zu minimieren, minimiert man einfach

d^{2} = {(x_{k} - x_{g})}^{2} + {(e^{- 3 \cdot x_{k}} + 2 \cdot x_{g} + 7)}^{2}

dann geht es deutlich leichter.

Viele Grüße
Yokozuna

Atlantik aktiv_icon

18:17 Uhr, 01.11.2017

Der Berührpunkt auf

f (x) =

e^(-3x)ist

B (u | ...)

. Die Parallele zu der Geraden

y = - 2 x - 7

läuft durch

B (B (u | f (u) . \to

f´(u)=-2

Damit kannst du

u

ausrechnen.

mfG

Atlantik

sensen00 aktiv_icon

09:26 Uhr, 02.11.2017

Also eigentlich reichen mir eure Antworten. Vielen Dank an alle!

Aber falls du noch magst Yokozuna:

Es hat ja zwei Unbekannte, xg und xk. Muss man jetzt je nach xg und xk ableiten und dann gleich Null setzen? Dann hätte man zwei Gleichungen und zwei Unbekannte. Das könnte man dann auflösen.

Stimmt das?

VG
sensen00

Yokozuna aktiv_icon

09:33 Uhr, 02.11.2017

Ja, das ist richtig. Je einmal partiell nach

x_{k}

und einmal nach

x_{g}

ableiten und die beiden Ableitungen gleich Null setzen.

Viele Grüße
Yokozuna

sensen00 aktiv_icon

09:43 Uhr, 02.11.2017

Perfekt, danke!

Gruss

Atlantik aktiv_icon

09:50 Uhr, 02.11.2017

Mein Weg :

f

(u) = - 3 \cdot e^{- 3 u}

- 3 \cdot e^{- 3 u} = - 2

e^{- 3 u} = \frac{2}{3}

\frac{1}{e^{3 u}} = \frac{2}{3}

\frac{2}{3} e^{3 u} = 1

e^{3 u} = \frac{3}{2}

u = \frac{1}{3} \cdot ln (\frac{3}{2}) \approx 0,135

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

sensen00 aktiv_icon

09:59 Uhr, 02.11.2017

Ich habe es auch so gerechnet, danke ;-)!
Das ist aber unter der Annahme, dass die Gerade zum Berührungspunkt normal zur Geraden

y

steht.

Atlantik aktiv_icon

10:05 Uhr, 02.11.2017

Dadurch, dass die beiden Geraden parallel zueinander sind, ist gewährleistet, dass die Normale durch

B

zu beiden Geraden normal ist.

mfG

Atlantik

Yokozuna aktiv_icon

10:16 Uhr, 02.11.2017

Die Annahme, dass die Abstandsgerade normal zur Geraden und zur Kurve im Berührungspunkt ist, vereinfacht die Lösung des Problems natürlich ungemein. Bei der von mir genannten Methode hat man zwei in der Regel nichtlineare Gleichungen und die Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme erfordert doch einiges an Erfahrung und Geschick und ist deshalb nicht so einfach.

Viele Grüße
Yokozuna

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