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Kletterpyramide

Schüler

Tags: Analytische Geometrie

Sabine2 aktiv_icon

17:33 Uhr, 20.11.2012

Hallo,

In einem Freizeitpark steht eine Kletteranlage in Form eines Pyramidenstumpfs mit vier unterschiedlichen Kletterwänden. Der Pyramidenstumpf entsteht aus einer Pyramide, indem diese parallel zur Grundfläche durchgeschnitten und der obere Teil weggelassen wird.
Der Pyramidenstumpf steht in der

x_{2} x_{3}

-Ebene und hat als Grundfläche das Viereck ABCD mit

A (0 | 0 | 0), B (6 | 6 | 0), C (0 | 18 | 0)

und

D (- 8 | 4 | 0)

und als Deckfläche das Viereck

A' B' C' D'

mit

A' (4 | 1 | 20), B' (7 | 4 | 20)

und

C' (4 | 10 | 20)

(Koordinatenangaben in Meter).

(a)

-Zeigen Sie, dass

S (8 | 2 | 40)

die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist.
-Berechnen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfes.

(b)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

D'

und zeichnen Sie den Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein.

(c)

-Zeigen Sie, dass das Viereck ABB'A' in einer Ebene liegt.
-Zeigen Sie, dass es sich bei diesem Viereck um ein Trapez handelt und berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes.

(d)

Untersuchen Sie, ob die Wand ABB'A' nach außen überhängt.

Meine Lösungsideen (noch keine Ergebnisse):

Meine erste Frage: Wieso steht er in der

x_{2} x_{3}

-Ebene? Er ist ja parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene.

(a)

-Ich würde zwei Geraden der Seitenkanten aufstellen und diese Schneiden.
-Ich würde das Volumen der großen - das der kleinen berechnen. Mithilfe des Spatproduktes und dem Faktor

\frac{1}{3}

(b)

\vec{d'} = \vec{a} + \vec{A A'} + \vec{B' C'},

was aber voraussetzt, dass, es sich auch hier um eine gleichmäßige Pyramide handelt, weil sonst die Vektoren

A' D'

und

B' C'

nicht parallel wären. Also geht dies wahrscheinlich nicht.

(c)

-Ebene aus drei Punkten aufstellen und gucken, ob der 4. drinliegt.
-Gucken, ob zwei Seiten Parallel sind. (Mehr muss ja nicht getan werden, es muss ja kein regelmäßiges Trapez sein, oder doch?) Zu dem Flächeninhalt habe ich keine Idee.

(d)

Weiß nicht.

: (

Vielleicht Winkel Ebene und Ebene? Wobei dann die Frage ist, welcher Winkel dadurch berechnet wird.

Und falls es für Lösungen kürzere Wege als meine gibt, bitte sagen! :-)

Danke und lieben Gruß,
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

bberlejung aktiv_icon

18:35 Uhr, 20.11.2012

in welcher Stufe bist du?

Sabine2 aktiv_icon

20:14 Uhr, 20.11.2012

Wofür ist das wichtig? Aber

12

Femat aktiv_icon

22:42 Uhr, 20.11.2012

Der einzige Knackpunkt ist, wie der Körper um Himmels Willen in der verlangten Ebene stehen soll.
Alles andere machst du mit deinen hervorragenden Kenntnissen mit links.
Zur Flächenbestimmung wirst du wohl Kreuzprodukte wählen. Für die Vierecksfläche halt zwei mal Dreieck.

Sabine2 aktiv_icon

06:53 Uhr, 21.11.2012

Okay,
ja die Frage habe ich ja auch gestellt :-D)

(a)

Also wie genau bestimme ich nun das Volumen des Stumpfes? So wie ich es geschrieben habe, oder geht es auch kürzer?

(b)

kann ich wohl doch nicht so machen, weil die Seiten unterschiedlich lang sind. Ich muss dann wohl die Gerade durch

D

und

S

mit der oberen Ebene des Stumpfes schneiden. Die Ebene kann man ja leicht aufstellen.

D'

MUSSS auf dieser Geraden liegen.

(c)

Reicht meine Vorgehensweise, um zu gucken, ob es ein Trapez ist, oder muss es unbedingt ein regelmäßiges sein? Bzw. ich kann ja die nicht parallelen Seitenlängen betrachten und gucken ob es ein regelmäßiges oder unregelmäßiges ist.

(d)

Man könnte natürlich über Winkel argumentieren, doch ich glaube, das wird schwer, weil ich nicht weiß, in welche Richtung der Normalenvektor der Ebene der Seitenfläche zeigt.
Andere Ideen?

Wozu benötige ich die von dir beschriebene Flächenbestimmung?

prodomo aktiv_icon

07:13 Uhr, 21.11.2012

Irgendetwas stimmt mit dem Text nicht. Die Ecken der Grundfläche haben sämtlich

x_{3} = 0

. Dann muss die Grundfläche in der

x_{1} x_{2} -

Ebene stehen. Außerdem wird offenbar vorausgesetzt, dass

\forall'

durch

S

geht, usw. Gibt es vielleicht eine Skizze dazu, die du nicht gepostet hast ?
Wenn die Lage derart ist, ist die Frage nach der Ebene AA'BB' eigentlich Unsinn, denn Pyramiden haben per Definition ebene Seitenflächen. Gemeint ist aber vermutlich, dass man die Gleichung dieser Ebene bestimmen soll.

prodomo aktiv_icon

07:22 Uhr, 21.11.2012

Schnelle Lösung zum Volumen: der Schnitt erfolgt auf halber Höhe, also ist mit dem Strahlensatz das Volumen der Spitze

\frac{1}{8}

des gesamten, mithin der Stumpf

\frac{7}{8}

. Da die Grundfläche

126

FE hat und die Höhe

40

ist, gilt

V = \frac{7}{8} \cdot 126 \cdot \frac{40}{3} = 1470

VE.
Die entsprechenden Kanten von Grund- und Deckfläche müssen parallel sein, sonst ist es kein Pyramidenstumpf.

Sabine2 aktiv_icon

12:33 Uhr, 21.11.2012

Nein, es gibt keine Skizze und auch die Ebene ist da so angegeben, wie ich es aufgeschrieben habe.
Aber das die Gerade durch

A A'

durch

S

geht, kann man der Aufgabe doch entnehmen. Ich habe ursprünglich eine Pyramide mit ABCDS, schneide die Spitze in einer Ebene parallel zur Grundfläche ab, wodorch

A'

dann auch auf der Geraden durch AS liegen muss.

Wie du auf die

\frac{1}{8}

kommst, ist mir unklar.

Ich habe es mit meiner Methode gemacht, also zuerst das Volumen der gesamten Pyramide mit

\frac{1}{3} \cdot

Spatvolumen und davon dann das Volumen der Spitze subtrahiert. Ich komme auf

1260

FE.
Darf ich das so machen? Offensichtlich nicht, weil was anderes rauskommt. Ich vermute, es liegt daran, da die Grundfläche ein allgemeines Viereck ist und mit dem Spatvolumen komme ich ja nur in einem Parallelogramm weiter, oder?

prodomo aktiv_icon

13:13 Uhr, 21.11.2012

Ja, ein Parallelogramm ist es nicht. Der Trick mit dem

\frac{1}{8}

beruht auf dem räumlichen Strahlensatz bzw. den Modellgesetzen. Denke dir die Spitze von

S

aus auf das Doppelte gestreckt. Dann werden alle Strecken verdoppelt. Dadurch vervierfachen sich alle Flächen und verachtfachen sich alle Volumina (doppelte Länge, doppelte Breite, doppelte Höhe). Also hat die Pyramide den achtfachen Rauminhalt der Spitze, die untere Etage demnach

\frac{7}{8}

. Dieser Trick klappt mit allen "Stümpfen".
Die Grundfläche besteht aus 2 Dreiecken in der x_1x_2-Ebene. Beiden ist die Strecke AC

= 18

LE gemeinsam, die Höhen ergeben sich zu 8 wegen

D (- 8 | 4)

und 6 wegen

B (6 | 6)

. Das gibt

126

FE. Die Höhe ist

40

wegen S. Also

\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{3} \cdot 126 \cdot 40 = 1470

für den Stumpf

Sabine2 aktiv_icon

13:19 Uhr, 21.11.2012

Bevor ich mich mit deinem Beitrag von eben beschäftige, zunächst einige Ergebnisse, die ich eben gerechnet habe:

D' (0 | 3 | 20)

Und dass alle 4 Punkte in der Ebene liegen, habe ich auch gezeigt, so sinnlos das auch sein mag.
Mit dem Zeichnen bin ich nur überfordert, das habe ich ziemlich lange nichtmehr gemacht. Wie muss ich die Achsen einteilen? Für die

x_{2}

-Achse habe ich 1cm = 2LE, für die

x_{3}

Achse 2cm = 10LE.
Jetzt zur

x_{1}

-Achse: Also ich habe diese so gezeichnet, dass sie durch alle Diagonalen eines Kästchens

(0,0 \cdot 0,5)

geht, also alle Ecken schneidet. Dann habe ich je Kästchendiagonale eine LE genommen. Ist das Legitim? Bzw. wir wäre es, wenn ich alle Achsen gleich einteilen wollen würde? Also

x_{2} :

1cm = 1LE;

x_{3} :

1cm=1LE;

x_{1} :

???

prodomo aktiv_icon

13:32 Uhr, 21.11.2012

b)

und

c)

D' (0 | 3 | 20)

mit DS

= (\begin{matrix} 16 \\ - 2 \\ 40 \end{matrix})

und damit DD'

= (\begin{matrix} 8 \\ - 1 \\ 20 \end{matrix})

. Dann

(\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ - 1 \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 20 \end{matrix})

Die Frage nach dem Trapez ist insofern leicht beantwortet, als jedes Viereck mit 2 parallelen Seiten ein Trapez ist !

d)

Was ist hier mit "außen" gemeint ? Anschaulich könnte man sagen, dass ein Lot von einem beliebigen Punkt der oberen Kante

A' B'

nicht innerhalb der Grundfläche auftreffen darf. Bei "untersuchen" ist es so

z . B

. möglich, alle Fußpunkte dieser Lote zu einer Geraden zu machen und diese in eine Zeichnung der Grundfläche einzufügen. Aber es darf nicht Aufgabe eines Schülers sein, zu erraten, was der Autor mit "außen" meint...Typische schlampig formulierte "Sachanwendung".
Die Zeichnung ergibt, dass die Gerade der Lotfußpunkte außerhalb von

G

läuft.

prodomo aktiv_icon

13:51 Uhr, 21.11.2012

Da haben sich die Beiträge überkreuzt. Für die Trapezfläche brauchst du die Trapezhöhe. Also eine Gerade in der Ebene formulieren, die senkrecht zu AB und damit auch zu

A' B'

läuft, diese Gerade von

A'

loslaufen lassen, bis sie AB trifft. Dann die Länge bis zum Treffpunkt errechnen. Fläche ist Mittelparallele mal Höhe. Da |AB|

= 6 \cdot \sqrt{2}

und

A' B' 3 \cdot \sqrt{2},

ist die Mittelparallele

4,5 \cdot \sqrt{2}

.
Die oben erwähnte Gerade hat einen Richtungsvektor, der sich als Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene ergibt, in der sie liegen muss. Also

[r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 20 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0

. Daraus folgt

r = - 2,5 \cdot t

. Eingesetzt heißt die Gerade dann

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1,5 \\ - 1,5 \\ 20 \end{matrix})

. Für den Fußpunkt muss

x_{3} = 0

sein, also

t = - 1

. Damit wird er

F (2,5 | 2,5 | 0)

. Die Höhe ist dann

\sqrt{2,25 + 2,25 + 400}

. Damit wird die Fläche

120

FE gerundet

prodomo aktiv_icon

13:55 Uhr, 21.11.2012

Zur Zeichnung. Hier gibt es keine Vorgaben. Viele Lehrbücher haben mittlerweile die Kavalierperspektive mit

α = 45

Grad und

k = \frac{1}{\sqrt{2}}

übernommen, obwohl sie einen schlechten räumlichen Eindruck vermittelt. Also

x

schräg unter

45

Grad nach vorne links, Einheit eine Kästchendiagonale, die anderen normal nach rechts und oben mit 1 cm

Sabine2 aktiv_icon

14:09 Uhr, 21.11.2012

Zum Trapezflächeninhalt:
Ich wollte die Formel

\frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h

nehmen.

a + c = 9 \cdot \sqrt{2}

für

h

komme ich auf

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1618}

und dann insgesamt auf

A \approx 128

.
Ich habe die Gerade

μ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

und die Ebene

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 20 \end{matrix})) = 0

gewählt, für

μ

dann

\frac{5}{12}

und für den Lotfußpunkt dann

\frac{5}{12} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

.

Also es ist noch offen:

(a)

Jieha, ich habe es gerade geschafft, die Verdopplung sämtlicher Strecken anhand der Strahlensätze zu beweisen :-) Ich habe das in zwei Schritten gemacht: Zunächst eine Figur gezeichnet mit der Höhe und einer Seite. Daraus folgte dann, dann bei verdopplung der Höhe sich auch die Seite verdoppelt.
In der zweiten Figur habe ich zwei Seiten und die Grundflächen. Daraus folgt dann, dass sich die Grundseite auch verdoppelt.

(c)

s

. Post von eben.

(d)

Lotpunkte sind dann ja

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

. In der Zeichnung liegen die links von der Seite AB. Alles was rechts davon liegt (auch außerhalb der Grundfläche) würde bedeuten, dass die Wand überhängt.
Kann man das nicht auch "schöner" lösen? Über Winkel

z . B .

?

Übrigens: Ich finde die gesamte Aufgabe schrecklich.

prodomo aktiv_icon

15:09 Uhr, 21.11.2012

\frac{a + c}{2}

ist die Mittelparallele. Deine Höhe hatte ich auch mit

\sqrt{404,5}

und dann auch

128

. Trotz einer anderen Geraden stimmen also die Ergebnisse überein.
Den Winkel würde ich nicht empfehlen. Man müsste ja den Winkel der Grundfläche gegen die Seitenwand betrachten und schauen, ob er kleiner oder größer als

90

Grad ist. Aber dazu müsste man sehr genaue Vorstellungen über die räumliche Lage der Normalenvektoren haben, vor allem, zu welcher Seite sie zeigen, ins Innere oder nach außen aus der Pyramide. Das ist fehleranfällig. Denke daran, dass man beim Winkel zwischen 2 Ebenmen immer den unter

90

Grad nimmt, von daher ist hier die Entscheidung problematisch.
"Schrecklich" ist noch zu schwach...

Sabine2 aktiv_icon

15:27 Uhr, 21.11.2012

Achso, dann ist ja alles gut.
Ich bin gerade noch beim Zeichenproblem.
Also generell nimmt man einen 45° Winkel. Wenn jetzt auf der

x 2

und

x 3

Achse 1cm 1LE entsprechen, so würde auf der

x 3

Achse

\frac{\sqrt{2}}{2}

(diagonalenlänge) eine LE entsprechen.

Wenn ich jetzt also 1cm=20LE habe, müssten die

20

auf der

x 1

Achse bei

\frac{\sqrt{2}}{2}

liegen. Ich muss also immer die Centimeterzahl mit

k

multiplizieren und nicht den Wert, sonst lande ich für

20

bei

10 \cdot \sqrt{2}

.
Was genau gibt denn jetzt dieser Faktor

k

an? Ist das ein Streckfaktor? Mein Buch meint, er gibt an, um wieviel kürzer die Strecke nun ist, aber das verstehe ich nicht.

Und sehe ich folgendes richtig:
Um einen Punkt

(x | y | z)

in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, gibt es nur EINE Möglichkeit. Um aber die Koordinaten eines Punktes, der schon eingezeichnet ist, abzulesen, gibt es mehere (ich nehme an es sind nicht unendlich) Möglichkeiten. (Man kann zum Beispiel ja immer

x_{1} = 0

betrachten).

Wieso staucht man die

x_{1}

Achse eigentlich? Um dem ganzen mehr räumlichkeit zu verleihen?
Und was für andere Winkel und

k

gibt es?

Es beruhigt wirklich, dass du die Aufgabe mindestens genauso schrecklich findest. Hoffentlich wird die Aufgabe in meinem Abi erträglicher, so etwas nimmt einen ja jede Freude am Rechnen...

prodomo aktiv_icon

15:47 Uhr, 21.11.2012

k

ist der Faktor, mit dem die Achse verkürzt ist. Hier also ist jede Strecke in

x_{1} -

Richtung nur

\frac{1}{\sqrt{2}}

ihrer normalen Länge. Das passt dann gerade auf die Kästchendiagonale und ermöglicht schnelles Einzeichnen. Ablesen darf man nicht, wie du richtig erkannt hast.
Das Ganze soll einer Perspektive ähneln. "Räumlicher" wirkt

α = 30

Grad und

k = \frac{1}{2},

aber dann dauert das Zeichnen länger.
Ist

2013

schon Abi ? Auf jeden Fall bist du gut gerüstet. Femat hat dich genau so eingeschätzt, das sollte noch mehr Selbstvertrauen geben.
Meine

50

"Helden" sind am 20.März "dran".

Sabine2 aktiv_icon

16:34 Uhr, 21.11.2012

Jup, der

20

. März ist auch bei mir der Abitermin

: O

Vielen Dank, alle Fragen sind beantwortet! :-)

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