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Klumpentopologie
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie
 
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Hallo Zusammen, warum ist die Klumpentopologie nicht metrisierbar? Ich habe T= {leere Menge, X} Mit den folgenden Axiomen ist eine Metrik definiert: 1) d(x,y)>= 0; wenn 0, dann x=y 2) d(x,y)=d(y,x) 3) d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y) So, und jetzt? Sei X={x,y}, dann ist diese nicht metrisierbar. Sei X={x}, dann aber schon? Warum? Vielen Dank Jens Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ein metrischer Raum ist ein Hausdorff-Raum. mit der Klumpentopologie versehen ist nicht Hausdorffsch. |
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Hallo, vielen Dank für Deine Antwort. Aber wie hängt das mit der Metrik zusammen? Vielen Dank J. |
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Ich verstehe deine Frage nicht. Meinst du, wie die Hausdorff-Eigenschaft aus der Metrik folgt? |
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Hallo, mir ist einfach nicht klar, wie man die Nicht-Metrisierbarkeit aus den Metrik Axiomen herleitet. Sei dann ist T0=leere Menge, nicht metrisierbar T1=leere Menge,X,{0}} metrisierbar Warum? Hausdorf beschreibt doch disjunkte Mengen. Aber in sind doch und nicht disjunkt, weil doch die 0 enthält, oder ? Lieben Dank J. |
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Wenn mit der Klumpentopologie metrisierbar wäre, dann gäbe es eine Metrik , so dass die offenen Mengen von gerade und wären. In einem metrischen Raum gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten disjunkte offene Umgebungen (Hausdorff-Eigenschaft). Also hätten und zwei offene Umgebungen und mit . Das steht aber im Widerspruch zu . |
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. weil eben die Umgebung und die Umgebung ebenfalls ist. Deshalb nicht disjunkt. Ich glaube, jetzt hab‘ ich es. Vielen Dank Herzliche Grüße Jens |
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Ja. So ist es! Gruß ermanus |
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