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K^n -> K lineare Abbildung, Beweis

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

harold aktiv_icon

11:33 Uhr, 28.11.2009

Guten Morgen,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wir haben gegeben den Körper

K

und es sei

n

Element aus

ℕ

φ : K^{n} \to K

sei eine lineare Abbildung.

Nun ist zu zeigen: Es gibt Elemente a1,..,an aus

K,

so dass gilt: für alle

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})

K^{n}

φ (x) = \sum_{v = 1}^{n} a_{v} x_{v}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich muss sagen ich weiß wirklich nicht wie ich dies beweisen soll

hagman aktiv_icon

11:42 Uhr, 28.11.2009

Angenommen, die Aussage stimmt - kannst du dann geeignete Elemente

v_{ν} \in K^{n}

erraten mit

φ (v_{ν}) = a_{ν}

? Was folg dann per Linearität für

φ (x)

harold aktiv_icon

12:29 Uhr, 28.11.2009

Ich muss sagen dass ich mir über

K^{n}

und

K

auch noch nicht

100 %

bewusst bin.

K

ist einfach 1 dimensional, und

K^{n}

n-dimensional?

ob man

v_{v}

mit

φ (v_{v}) = a_{v}

finden kann weiß ich auch nicht genau.

hagman aktiv_icon

16:00 Uhr, 28.11.2009

Nochmal: Welche geschickt gewählten Werte für

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}

fallen dir ein, damit
sich

\sum_{ν = 1}^{n} a_{ν} x_{ν} = a_{1}

ergibt? Und für

= a_{2}

? usw.

harold aktiv_icon

16:06 Uhr, 28.11.2009

Naja wenn man

x_{1} = 1

und

x_{2} = ... = x_{n} = 0

wählen würde würden wir

a_{1} x_{1}

erhalten aber dann ist ja noch das

x_{1}

im weg. Und man muss hier doch auch

x_{1} = ... = x_{n}

wählen wenn ich das summenzeichen richtig verstehe.

hagman aktiv_icon

16:10 Uhr, 28.11.2009

Deine erste Aussage ist zumindest richtig (die zweite verstee ich nicht).
Es liegt also nahe,

a_{1} := φ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

zu definieren, entsprechend

a_{2} := φ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}),

usw. bis

a_{n} := φ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

Was folgt notwendigerweise aus der Linearität von

φ

für

φ (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})

harold aktiv_icon

16:24 Uhr, 28.11.2009

φ (α_{1} (\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix}) + α_{2} (\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})) = α_{1} φ (\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix}) + α_{2} φ (\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})

ist ja die kriterium für lineare abbildungen.

notwendig ist außerdem dass sich also jedes Element

a_{1}, ... {,1}_{n}

durch

φ (\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})

darstellbar sein muss.

harold aktiv_icon

16:14 Uhr, 30.11.2009

scheint ja nicht zu stimmen was ich geschrieben habe.
ich weiß nicht wie ich die aufgabe löse:(.

hagman aktiv_icon

17:39 Uhr, 30.11.2009

Wende die Linearität an auf

(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = x_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) + . .

+ x_{n} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

harold aktiv_icon

19:34 Uhr, 30.11.2009

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was mit "linearität anwenden" gemeint ist.

also

(\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix}) = x_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ... \\ 0 \end{matrix}) + x_{n} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ ... \\ 1 \end{matrix})

ist mir klar.

arrow30

20:03 Uhr, 30.11.2009

er meinte was ist

φ ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix}))

harold aktiv_icon

20:08 Uhr, 30.11.2009

wenn wir

a_{1}, ..., a_{n}

wie gewählt, verwenden ist

φ ((\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})) = x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}

würde ich sagen.

arrow30

20:10 Uhr, 30.11.2009

φ ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})) = x_{1} \cdot φ ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix})) + x_{2} \cdot φ ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{matrix})) + ... . + x_{n} \cdot φ ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \end{matrix}))

stimmt es ?

harold aktiv_icon

17:32 Uhr, 02.12.2009

Ok also was ist

φ ((\begin{matrix} x_{1} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix}))

naja das ist

a_{1} x_{1} + ... + a_{n} x_{n}

aber ich soll ja das

a_{1} = φ ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix}))

usw ja noch irgendwie einbauen.

soll ich schreiben

φ ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix})) x_{1} + ... + φ ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \end{matrix})) x_{n}

.

ich weiß wirklich nicht genau was ich hier machen soll, und bin jetzt glaube ich ziemlich verwirrt und schreibe wirres zeug:-).

lg

arrow30

17:36 Uhr, 02.12.2009

schau dir ganz genau, was

φ

(wie ist die da oben definiert ?) macht ! und schau auch was du eigentlich zeigen musst

harold aktiv_icon

17:51 Uhr, 02.12.2009

φ

erstellt hier ja quasi eine Zeile einer Matrix der Abbdilgung

φ : K^{n} \to K

.
Und wir sollen wohl zeigen, dass es Elemente

a_{1}, ..., a_{n}

K

gibt, so dass wir diese Zeile durch

φ

erzeugen.
Und wahrscheinlich ist dann auch zu zeigen, dass die Abbildung mit diesen

a_{1}, ..., a_{n}

linear ist.

ps: wie schreibe ich das Elementzeichen eigentlich richtig hier im Forum. klein

e +

klein

l

erzeugt es bei mir nicht.

arrow30

17:55 Uhr, 02.12.2009

ähm also

φ

bildet Elemente

\in K^{n}

nach

K

das wollte ich hören
also

φ ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{matrix})), φ ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{matrix})) φ ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \end{matrix}))

sind

\in K

dann bist du fertig das sind genau die

a_{1}, a_{2} ... . a_{n}

die du suchst

harold aktiv_icon

18:01 Uhr, 02.12.2009

Ok, das war dann genauso eine kurze lösung wie ich sie erwartet habe.
Les mir nochmal alle beiträge durch, vielen dank!

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