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Koeffizienten eines Polynoms bestimmen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Elementare Zahlentheorie

Tags: Binomialkoeffizient, Polynome

nightlife247 aktiv_icon

11:41 Uhr, 11.12.2008

Hello again,

kann mir jemand erklären wie man an Aufgaben folgender Strickart herangeht:

Wie lautet der Koeffizient von $x^{9} y^{6}$ in ${(x + y)}^{15}$ ?

Muss ich dabei so etwas wie eine Polynomdivision durchführen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

anonymous

12:00 Uhr, 11.12.2008

hi
hat wahrscheinlich was mit pasqualschem dreieck zu tun
mfg

⊙ k

nightlife247 aktiv_icon

12:03 Uhr, 11.12.2008

Soweit bin ich mittlerweile auch vorgedrungen, nur hilft mir das bloße Betrachten des Pascalschen Dreiecks

z

.Zt. nur bedingt weiter...

Edddi aktiv_icon

12:24 Uhr, 11.12.2008

...mittels Binomialkoeffizienten erhählst du den Faktor:

{(a + b)}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (n

über

i) \cdot a^{n - i} \cdot b^{i}

mit

(n

über

i) = \frac{n!}{i! \cdot (n - i)!}

somit wäre für dein Beispiel

n - i = 9 = 15 - 6

i = 6 (6

. Stelle)

(15

über

6) = \frac{15!}{6! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}

...so jetzt bitte selber kürzen und ausrechnen...

:-)

nightlife247 aktiv_icon

12:26 Uhr, 11.12.2008

Grandios. Besten Dank!

nightlife247 aktiv_icon

12:36 Uhr, 11.12.2008

Das Ergebnis lautet $333 \frac{2}{3}$ . Das ist also der Koeffizient von $x^{9} y^{6} i n {(x + y)}^{15}$ ? Darf ich noch die Frage nachschiessen was genau das Ergebnis im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung zu bedeuten hat? Ist mir noch immer ein Rätsel...

Edddi aktiv_icon

12:40 Uhr, 11.12.2008

...es kann kein Bruch rauskommen...

ich erhalte was anderes, rechne doch bitte nochmal nach...

Du siehst am Pascalschen Dreieck, das die unter und zwischen 2 Zahlen liegende Zahl die Summe der beiden Zahlen ist. Da es immer natürliche Zahlen sind, bleibt auch die Summe natürlich.

:-)

nightlife247 aktiv_icon

12:41 Uhr, 11.12.2008

Sorry, das Ergebnis in meinem vorherigen Post ist peinlich falsch. Man sollte hin und wieder mal den Kopf einschalten...

Das Ergebnis lautet 5005.

Edddi aktiv_icon

12:42 Uhr, 11.12.2008

. .

. genau..hast ja den Fehler gefunden...

:-)

Edddi aktiv_icon

12:46 Uhr, 11.12.2008

...zu deiner nachgeschossenen Frage... ich denke das ihr hinter das Prinzip zur Entwicklung des Binomialkoeffizienten kommen solltet. Und zwar mittel Nutzung in den binomischen Formeln.

Dieser Binomialkoeffizent findet ja auch in der Stochastik seine Anwendung.

Ihr solltet wohl rausbekommen:

für

x^{3} y^{5}

bei

{(x + y)}^{8}

ist der Faktor eben

\frac{8!}{3! \cdot 5!}

:-)

nightlife247 aktiv_icon

13:14 Uhr, 11.12.2008

Ist dann der Koeffizient von

$x^{3} y^{2} z^{4} t^{3} i n {(x + y + z + t)}^{12} = \frac{12!}{3! * 2! * 4! * 3!} = 277200 ?$

Oder habe ich da etwas nicht verstanden?

Edddi aktiv_icon

13:41 Uhr, 11.12.2008

...das mit dem Binomialkoeffizienten gilt nur für 2 Summanden.

Also für Ausdrücke der Form:

{(x + y)}^{n} w . z . B

{(a + b)}^{25}

oder

{(4 + x)}^{4}

etc.

Beispiel:

{(a + x)}^{4} = (4

über

0) \cdot a^{4} \cdot x^{0} + (4

über

1) \cdot a 3 \cdot x^{1} + (4

über

2) \cdot a^{2} \cdot x^{2} + (4

über

3) \cdot a^{1} \cdot x^{3} + (4

über

4) \cdot a^{0} \cdot x^{4}

= a^{4} + 4 \cdot a^{3} \cdot x + 6 \cdot a^{2} \cdot x^{2} + 4 \cdot a^{1} \cdot x^{3} + x^{4}

:-)

nightlife247 aktiv_icon

13:56 Uhr, 11.12.2008

War ja klar, wär ja wohl auch zu simpel gewesen...;-)

nightlife247 aktiv_icon

14:10 Uhr, 11.12.2008

So, ich habe jetzt ein wenig über die Bestimmung des Polynomialkoeffizenten gelesen. Wenn ich diese richtig verstanden habe, dann erhalte ich als Koeffizienten, zumindest für das zweite Beispiel mit $x^{3} y^{2} y^{4} t^{3} i n {(x + y + z + t)}^{12}$ einen Term, entgegen der Lösung des ersten Beispiels, einer Zahl. Mir ist jedoch schleierhaft, wenn dem denn so ist, warum.

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