Koeffizientenmatrix

Hallo!

Ich bin gerade die ganze Zeit am tüffteln über einem Beispiel für eine Klausur.

Ich musste mir drei Gleichungen aufstellen, die wie folgt lauteten

1.Gleichung a =0,2 a + 0,2 b + 0,2 c + 20 //2.Gleichung b = 0,1a + 0,5b + 0,2c + 3 //3.Gleichung c = 0,4a + 0,2b+ 0,4c + 8 bzw. //1.Gleichung -20= -0,8a + 0,2b + 0,2c//2.Gleichung -3 = 0,1a -0,5b +0,2c //3.Gleichung -8 = 0,4 a + 0,2 b - 0,6c Nun soll ich den Rang der Koeffizientenmatrix und den der erweiterten Koeffizientenmatrix ermitteln. ich habe leider keine Ahnung, worum es sich bei dieser Koeffizientenmatrix handelt, geschweige denn wie man sie aufstellt. Ich habe auch schon im Internet gesurft, aber vergeblich ich habe die gleichungen auch schon gelöst a= 50 b =40 c =60 ausserdem wird verlangt dass ich das System mit Hilfe von x = A − 1 · b auflösen soll hat das auch was mit dieser Koeffizientenmatrix zu tun? Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte und es mir auch erklären könnte, weil ich es in zukunft gern selbst lösen könnte, bzw bei der klausur auch. Vielen Dank im Vorraus an all die Genies da draußen LG Tina

Hallo

Du hast hier ein inhomogenes Gleichungsystem der Form Ax=b

Die Koeffitientenmatrix A lautet:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{ccc}0,8& -0,2& -0,2\\ -0,1& 0,5& -0,2\\ -0,4& -0,2& 0,6\end{array}\right)}$

Es gilt ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\cdot \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}=\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, wobei E die einheitsmatrix ist. (vorraussetzung dafür ist natürlich, dass det(A) ungleich 0..das ist hier gegeben)

Nun sollst du diese Matrix A^-1 mit dem Gauß-Jordan Algorithmus ausrechnen. Und dann die inverse Matrix mit dem Vektor ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{ccc}20& & \\ 3& & \\ 8& & \end{array}\right)}$multiplizieren. Das Ergebnis ist dann das Tripel: ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& & \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& & \\ \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& & \end{array}\right)}$

Vorher musst du aber überprüfen, ob das lgs überhaupt lösbar ist. Das lgs Ax=b ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffitientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Koeffitientenmatrx übereinstimmt.

Mal ein Beispiel dazu: b=0; Ax=0. dieses homogene lgs besitzt auf jeden fall eine lösung (und zwar den nullvektor), da die erweiterte koeffitientemtarix wegen b=0 auch A ist und rang(A)=rang(A) ist eine wahre Aussage.

Hier ist der Rang von A=3 (da Ordnung(A)=3 und det(A) ungleich 0). Wenn der Rang der erweiterten Koeffitientenmatrix auch 3 ist, ist das lgs lösbar.

Gruß

Alex

Normalerweise geht das über den gaußschen Algorithmus. bei der Matrix A ist es natürlich sehr einfach, da sie 1. die Ordnung 3 hat und 2. die determinante von A ungleich 0 ist. Also müssen die Zeilen und Spaltenvektoren lineaer unabhängig sein. Somit stimmt der Rang von A mit der ordnung von A überein...

Gruß

Alex