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Koeffizientenmatrix & Quadrik

Universität / Fachhochschule

Tags: Quadrik

gonnabeph aktiv_icon

18:21 Uhr, 01.06.2015

Hallo, ich soll folgende Quadrik in die Normalform bringen und den geometrischen Typ beschreiben.

y^{2} - z^{2} + 2 x z - 2 x - 4 = 0

Im ersten Schritt wollte ich die Quadrik in eine Koeffizientenmatrix schreiben mit

x^{t} A x = 4

. Mein Problem ist nun, ich weiß ehrlich gesagt nicht so richtig wie ich die Koeffizientenmatrix aufgestellt bekomme da mich die

- 2 x

stören.
Ich habe die Koeffizientenmatrix

A = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array})

Wenn ich diese Koeffizientenmatrix wieder ausmultipliziere mit

x^{t} A x = 4

erhalte ich

y^{2} - z^{2} + 2 x z = 4

also es fehlt die

- 2 x

. Wie bekomme ich die

- 2 x

mit einbezogen?

Danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:32 Uhr, 01.06.2015

"Mein Problem ist nun, ich weiß ehrlich gesagt nicht so richtig wie ich die Koeffizientenmatrix aufgestellt bekomme da mich die −2x stören."

Nur weil Du nicht weißt, dass eine Quadrik nicht durch eine Matrix alleine beschrieben wird.
Und wieder steht es in Wikipedia. :-)
http//de.wikipedia.org/wiki/Quadrik

gonnabeph aktiv_icon

21:16 Uhr, 01.06.2015

Hallo DrBoogie, ich persönlich finde die deutsche Wikipedia ziemlich schlecht um sich nur mal "kurz" zu informieren. So wie ich das herausgelesen habe ist dann

y^{2} - z^{2} + 2 x z

die quadratische Form die sich darstellen lässt mit

x^{t} A x

. Nun muss

- 2 x - 4

noch dargestellt werden. In meinen lineare Algebra Buch das ich benutze wird nur der Fall für gemischte Terme erklärt wie man da die Koeffizientenmatrix aufstellt.

Wenn ich mir das in der Wikipedia anschaue steht dort:

In kompakter Matrixnotation kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

Q = {x \in \ R^{n} ∣ x^{T} A x + 2 b^{T} x + c = 0}

In dem Fall müsste

- 2 x

dann

2 b^{t} x

sein und

c = - 4

Dann müsste

b = (1 0 0)

sein? Damit erhalte ich die Gleichung der Quadrik:

Q = x^{t} A x + b^{t} x + c = x^{t} (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}) x + 2 (1 0 0) x = 4

Passt das erstmal so? Nun wäre der nächste Schritt die Eigenwerte von

A

zu bestimmen wenn

x^{t} A x = 4

gilt. Da dies allerdings nun eine komplett andere Gestalt hat weiß ich jetzt nicht was zu tun ist.

DrBoogie aktiv_icon

22:19 Uhr, 01.06.2015

"Passt das erstmal so?"

Richtig wäre

b = (- 1, 0, 0)

, sonst passt.

"Nun wäre der nächste Schritt die Eigenwerte von A zu bestimmen wenn

x^{t} A x = 4

gilt."

Sorry, aber dieser Satz ergibt gar keinen Sinn. Die Eigenwerte von

A

haben mit der Gleichung

x^{t} A x = 4

nichts zu tun. Du hast eine Matrix, mehr brauchst Du nicht, um Eigenwerte zu bestimmen.

gonnabeph aktiv_icon

22:51 Uhr, 01.06.2015

Hallo DrBoogie, ich meinte eigentlich das ich weiß wenn die Quadrik in der Form x^tAt=c vorliegt das man dann die Eigenwerte von A bestimmt. Mit dem zusätzlichen Ausdruck von 2b^tx wusste ich nicht direkt einzuordnen was zu tun ist.

Ich habe jetzt die Eigenwerte bestimmt und komme auf:

λ 1 = - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}

λ 2 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

λ 3 = 1

Der Eigenraum ist damit:

B = {(0 1 0), (\frac{\sqrt{5} + 1}{2}) 0 1), (- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}) 0 1)}

Nun dachte ich da der erste Vektor in der Basis die Länge 1 hat muss ich da nichts mehr machen. Die beiden anderen Vektoren sind allerdings nicht normiert. Diese habe ich nun normiert und komme dann auf die Basis:

B = {(0 1 0), \frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{2} + 1}} (\frac{\sqrt{5} + 1}{2}) 0 1), \frac{1}{\sqrt{(\frac{- \sqrt{5} + 1}{2})^{2} + 1}} (- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}) 0 1)}

Jetzt habe ich drei Basisvektoren mit der Länge eins also eine Orthonormalbasis oder muss man in sollchen Fällen auch noch mit Gram Schmidt arbeiten?.Reicht das schon um nun eine Diagonalmatrix damit aufzustellen?

Dann würde ich nun

D = T^{- 1} A T

aufstellen wobei die Spaltenvektoren von

T

die Basisvektoren von

B

sind.

Gruß! :-)

DrBoogie aktiv_icon

07:01 Uhr, 02.06.2015

"Der Eigenraum ist damit"

Es sind drei verschiedene Eigenräume, weil Du drei verschiedene Eigenwerte hast.

"Basisvektoren mit der Länge eins also eine Orthonormalbasis oder muss man in sollchen Fällen auch noch mit Gram Schmidt arbeiten?"

Nein, musst Du nicht, die Orthonormalbasis ist schon fertig.

gonnabeph aktiv_icon

18:18 Uhr, 02.06.2015

Das wird richtig hässlig zu berechnen. Ich habe nun

D = T^{- 1} A T

berechnet und komme auf

D = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}) & - 1 \\ 0 & 0 & \frac{- (\sqrt{5} + 1)}{2} \end{array})

Das heißt also D jetzt in die Gleichung eingesetzt erhält man:

x ʹ^{t} (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}) & - 1 \\ 0 & 0 & \frac{- (\sqrt{5} + 1)}{2} \end{array}) x ʹ + 2 (- 1 0 0) x ʹ = 4

Wenn ich es wieder ausmultipliziere erhalte ich:

x ʹ^{2} + (\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}) y^{2} ʹ - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} z^{2} ʹ - z ʹ y ʹ - 2 x ʹ = 4

Wenn ich mich hier nicht übelst verrechnet haben sollte erscheint mir das nicht gerade als einfachere Darstellung der Quadrik.

Ist das richtig?

Gruß! :-)

pleindespoir aktiv_icon

20:37 Uhr, 02.06.2015

Ich wende für die Quadrik-Matritzen folgende Ordnung an:

Nur die Koeffizienten der rein quadratischen Glieder (in der Diagonale ) und das absolute Glied gehen direkt ein - alle anderen werden nur mit ihrem halben Wert in der Matrix notiert.

a \cdot x^{2} + b \cdot y^{2} + c \cdot z^{2} + 2 r \cdot x y + 2 s \cdot y z + 2 t \cdot x z + 2 u \cdot x + 2 v \cdot y + 2 w \cdot z + ϑ = 0

(\begin{array}{rcl} x^{2} & x y & x z & x \\ x y & y^{2} & y z & y \\ x z & x y & z^{2} & z \\ x & y & z & ϑ \end{array})

(\begin{array}{rcl} a & r & t & u \\ r & b & s & v \\ t & s & c & w \\ u & v & w & ϑ \end{array})

Für Dein Beispiel also:

y^{2} - z^{2} + 2 x z - 2 x - 4 = 0

(\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & - 4 \end{array})

gonnabeph aktiv_icon

20:45 Uhr, 02.06.2015

Hallo Pleindespoir, wo hast du diese Form der Quadrik her? Bei Wikipedia ist das komplett anders angegeben?

Mit der Form hat man dann also

x^{t} A x = 0

ist das richtig? Gibt es dazu nicht konkrete Anleitungen wie man die Koeffizientenmatrix aufstellt? Oder ist das schon eine allgemeine Anleitung die du dort gegeben hast wie man die Koeffiezientenmatrix aufstellt?

Die letzte Matrix ist die Diagonalmatrix oder wie darf ich das deuten?

Gruß und vielen Dank! :-)

pleindespoir aktiv_icon

21:06 Uhr, 02.06.2015

Die allerunterste habe ich grad noch wegeditiert, weil da ein Wurm drin war.

Das Modell habe ich mir selbst zusammengeschustert, weil ich nichts gefunden habe, wo es richtig erklärt ist ...

... ein verbreitetes Problem der Didaktik in den höheren Weihen der Mathematik, weil diejenigen, die es schon können, nicht mehr fähig sind, sich in Leute hineinzuversetzen, die es noch nicht können. Im Autodidakten-Modus findet man dann "extrem komprimierte" Zusammenfassungen von wenigen Hundert Seiten, in denen alles bis ins kleinste zerfieselt wird, bis man keine Geduld mehr hat, das richtig durchzuarbeiten oder das krasse Gegenteil davon, wo nichts erläutert und immer ein Dutzend Schritte auf einmal gesprungen werden, weil "man das ja sowieso schon kennt".

Für Mathe ist wikipedia leider nur zum Nachsehen, aber nicht zum Erklären geeignet.

---

Ich bastel inzwischen mal an Deiner Aufgabe weiter ... bis später!

... dauert noch - bekomme grade Besuch!

gonnabeph aktiv_icon

21:37 Uhr, 02.06.2015

Also das mit der Form

x^{t} A x + K x + c = 0

muss eigentlich auch klappen. Also so wie ich dies oben berechnet habe. Ich denke ich muss mich irgendwo dabei verrechnet haben da die Eigenvektoren ziemlich unschön sind und dadurch weiteres berechnen ziemlich fehlerbehaftet wird.

DrBoogie aktiv_icon

21:49 Uhr, 02.06.2015

Die Eigenvektoren waren noch richtig.
Du kannst immer solche Berechnungen online nachprüfen oder unter Umständen auch einfach berechnen lassen,

z . B

. hier: matrixcalc.org/de/vectors.html

Also, was Schönes kommt da wohl nicht raus.
Aber ich glaube, Du hast Dich trotzdem verrechnet. Nur leider kann ich jetzt die Berechnung nicht machen, keine Zeit dafür. Ich glaube aber, dass auch dafür irgendwo ein Online-Tool existiert, nur weiß ich auf Anhieb nicht, wo.

pleindespoir aktiv_icon

01:30 Uhr, 03.06.2015

\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}

ist der Wert für den Goldenen Schnitt - kann man mit Kleinvieh oder Grossvieh abkürzen:

Φ = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}

φ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

Kehrwerte (besonders wichtig wegen dem Mist im Viehstall):

Φ^{- 1} = φ

φ^{- 1} = Φ

Summen (tun die Fliegen ):

Φ = φ + 1

Das ist dann garnicht mehr hässlich, sondern wunderhübsch!

gonnabeph aktiv_icon

14:05 Uhr, 03.06.2015

Hallo ihr beiden. Ich habe mir heute noch weitere Literatur zu dem Thema besorgt und habe nun weitere Fragen die hoffentlich beantwortet werden können.

In einem Buch steht das wenn man die Eigenwerte der Matrix A hat, kann man damit bereits die Form der Quadrik bestimmen indem die Eigenwerte auf die Hauptdiagonale geschrieben werden und dann ausmultipliziert. In dem Fall wäre das dann:

A = (\begin{array}{rcl} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{5} - 1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

Mit

x^{t} ʹ A x ʹ - 2 (1 0 0) x ʹ = 4

Wenn ich das nun ausmultipliziere erhalte ich

- φ x^{2} ʹ + φ y ʹ^{2} + z^{2} ʹ - 2 x ʹ = 4

Hiermit soll man nun die geometrischen Typ der Quadrik bestimmen können.
Habe ich das richtig verstanden?

Will man nun den Zusammenhang zwischen den einzelnen Koordinaten haben also x',y',z' und x,y,z dann muss die Diagonalmatrix bestimmt werden. Des Weiteren steht in dem Buch das die Einträge der Diagonalmatrix die Richtungskosinüsse der Winkel beschreibt. Ist das so korrekt?

Laut meiner Aufgabenstellung muss ich die Normalform bestimmen. Das heißt, ich muss die Diagonalmatrix bestimmen. Ich setze mich später noch einmal an die Aufgabe.

Schonmal Danke! :-)

DrBoogie aktiv_icon

14:24 Uhr, 03.06.2015

"Habe ich das richtig verstanden?"

Nicht ganz. Wenn Du am Anfang eine Quadrik

x^{t} A x + 2 b^{t} x + c = 0

hast und einen Basiswechsel machst, damit aus

A

eine Diagonalmatrix

D

wird, dann ändert sich nicht nur

A

, sondern auch

b

. Somit darfst Du nicht einfach ausmultiplizieren wie Du es wolltest.

gonnabeph aktiv_icon

14:44 Uhr, 03.06.2015

Hallo DrBoogie, in dem Buch ist sollch ein Term auch garnicht aufgetreten also

2 b^{t} x

ist in den Beispielen immer Null gewesen.

Also klappt es mit der Methode nicht wenn eine Quadrik in der Form

x^{t} A x + 2 b^{t} x + c = 0

vorliegt mithilfe der Eigenwerte den geometrischen Typ zu bestimmen.

Wenn ich eine Quadrik der Form

x^{t} A x + c = 0

vorliegen habe nur in dieser Form klappt es mit den Eigenwerten?

Das mit den Richtungskosinüssen der Diagonalmatrix habe ich ehrlich gesagt auch noch nicht richtig gerallt (Hatten wir auch nicht in der Vorlesung find ich aber spannend)

Ich habe die Definition der Richtungskosinüsse (schreibt man das so?) gefunden mit:

{\cos θ}_{x} = \frac{F_{x}}{∣ F ∣}

{\cos θ}_{y} = \frac{F_{y}}{∣ F ∣}

{\cos θ}_{z} = \frac{F_{z}}{∣ F ∣}

Das heißt dann also das zum Beispiel der Eintrag in der Diagonalmatrix

x x = 11

oder

y y = 22

oder

x y = 12

was genau beschreibt?

Das muss ja den Winkel des geometrischen Objektes irgendwie beschreiben mit 3-x Koordinaten 3-y Koordinaten und 3-z Koordinaten da es eine

3 \times 3

Matrix ist
wobei das mich auch wundert weil ein Körper ja nur eine x Koordinaten besitzt ...

Kannst du dazu etwas sagen?

Gruß und Danke!

DrBoogie aktiv_icon

14:49 Uhr, 03.06.2015

"Wenn ich eine Quadrik der Form vorliegen habe nur in dieser Form klappt es mit den Eigenwerten?"

Die Eigenwerte reichen halt nicht ganz.

"Das mit den Richtungskosinüssen der Diagonalmatrix habe ich ehrlich gesagt auch noch nicht richtig gerallt"

Grob gesagt geht es um Achsen. Am einfachsten sich vorzustellen, wenn die Quadrik ein Ellipsoid ist (dann sind die Richtungen wirklich die Achsen). Aber ich will nicht ins Detail gehen, sorry, ist eine recht technische Angelegenheit.

"wobei das mich auch wundert weil ein Körper ja nur eine x Koordinaten besitzt"

Was meinst Du damit? :-O

gonnabeph aktiv_icon

15:01 Uhr, 03.06.2015

Ok, das mit den Richtungskosinüssen stelle ich erstmal nach hinten. Ich muss die Aufgaben erstmal fertig bekommen.

Ich meine es handelt sich um eine

3 \times 3

Matrix mit

9

Einträgen. Ein Körper besitzt aber doch genau

3

Raumkoordinaten und nicht

9

?

Gruß und Danke!

DrBoogie aktiv_icon

15:10 Uhr, 03.06.2015

"Ein Körper besitzt aber doch genau 3 Raumkoordinaten und nicht 9?"

Natürlich nur

3

. Aber ich verstehe nicht, welchen Zusammenhang Du zwischen der Matrix und dem Körper siehst. Vermutlich einen nicht existierenden. :-)

gonnabeph aktiv_icon

15:16 Uhr, 03.06.2015

Ich meine wenn die Einträge der Diagonalmatrix die Winkel des Körpers angeben sind das 9 Winkel um den Körper zu beschreiben?

Ich meine das ein Körper mit 3 Koordinaten im Raum beschrieben werden kann oder mit 9 Winkeln?

DrBoogie aktiv_icon

16:12 Uhr, 03.06.2015

Eine Diagonalamtrix

3 \times 3

hat in Wirklichkeit nur

3

Einträge, denn außer Diagonale ist alles

0

und es spielt keine Rolle.

gonnabeph aktiv_icon

17:00 Uhr, 03.06.2015

HallO DrBoogie, ich habe mir zur Berechnung der Diagonalmatrix nun etwas Hilfe besorgt.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+{{0%2C0%2C1}%2C{0%2C1%2C0}%2C{1%2C0%2C-1}}

Wenn ich die errechnete Diagonalmatrix nun einsetze erhalte ich:

x^{t} ʹ (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} (- 1 - \sqrt{5}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{5}) \end{array}) x ʹ + (- 2 0 0) x ʹ = 4

Wenn ich das einmal ausrechne komme ich auf die Form:

x^{2} ʹ + \frac{1}{2} (- 1 - \sqrt{5}) y^{2} ʹ + \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{5}) z^{2} ʹ - 2 x ʹ = 4

Passt das nun oder muss ich

(- 2 0 0) x ʹ

auch noch irgendwie transformieren? Das kommt mir zumindest so vor da ich damit nämlich noch keinen geometrischen Typ erkennen kann ...

Gruß und Danke! :-)

DrBoogie aktiv_icon

21:07 Uhr, 03.06.2015

Wie ich schon sagte, Du kannst nicht einfach so die geänderte Matrix und den ungeänderten Vektor

b

zusammentun. Diagonalmatrix ist doch in einer anderen Basis als die Originalmatrix! Du musst diesen Basiswechsel bzw. die lineare Transformation der Koordinaten zuerst mal bestimmen, nicht nur die Diagonalform.

DrBoogie aktiv_icon

21:14 Uhr, 03.06.2015

Und übrigens, so eine Quadrik auf Normalform zu bringen ist einfacher "zu Fuß".

y^{2} - z^{2} + 2 x z - 2 x - 4 = 0

<=>

y^{2} - (z - x)^{2} + x^{2} - 2 x - 4 = 0

<=>

y^{2} - (z - x)^{2} + (x - 1)^{2} - 5 = 0

und mit der Transformation

z - x = z ʹ

x - 1 = x ʹ

bekommt man die Form

y^{2} / 5 + (x ʹ)^{2} / 5 - (z ʹ)^{2} / 5 = 1

, also ein einschaliges Hyperboloid.

gonnabeph aktiv_icon

21:38 Uhr, 03.06.2015

Interessant, also einfach durch geschicktes umformen. Das muss ich mir merken. Ich habe jetzt noch herausgefunden das man um die Mischterme zu eliminieren muss die Koordinatentransformation eine Rotation sein. Also muss gelten

d e t P = 1

wobei

P

die Diagonalmatrix ist. Es heißt weiter man soll die Spaltenvektoren vertauschen um

d e t P = 1

zu erhalten und dann

x = P x ʹ

setzen also einsetzen in

x^{t} A x + K x + c = 0

Damit folgt dann

(P x ʹ)^{t} A (P x ʹ) + K (P x ʹ) + c = 0

.

Also wäre das weitere vorgehen

d e t P = 1

zu bestimmen indem man die Spalten vertauscht.

gonnabeph aktiv_icon

00:06 Uhr, 04.06.2015

Ich habe noch sollch eine Art von Aufgabe und zwar:

x^{2} - y^{2} - z^{2} + 2 x z - 4 y - 7 = 0

Im ersten moment dachte ich, ich kann dies zu einem Binom zusammenfassen. Das klappt allerdings nicht. Quadratische Ergänzung scheint auch nicht so gut zu klappen.

Wie bekomme ich das denn umgeformt?

DrBoogie aktiv_icon

07:57 Uhr, 04.06.2015

Doch, die Umformung geht genauso wie eben:

x^{2} - y^{2} - z^{2} + 2 x z - 4 y - 7 = 0

<=>

(x + z)^{2} - 2 z^{2} - (y + 2)^{2} - 3 = 0

gonnabeph aktiv_icon

10:56 Uhr, 04.06.2015

Ja ich habe es jetzt nochmal nachgerechnet und komme auch darauf. Damit erhalte ich

\frac{x ʹ^{2}}{3} - \frac{y ʹ^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{3 / 2} = 1

laut wolframalpha soll es ein zweichschaliges Hyperboloid sein. Dafür müsste es allerdings die Form

\frac{x^{2}}{l^{2}} + \frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{z^{2}}{n^{2}} = - 1

haben.

Die Form kann man allerdings durch Umformung nicht herstellen was doch ziemlich komisch ist...

Danke! :-)

DrBoogie aktiv_icon

14:11 Uhr, 04.06.2015

"Die Form kann man allerdings durch Umformung nicht herstellen"

Doch, einfach die obere Gleichung mit

- 1

multiplizieren und Variablen vertauschen.

gonnabeph aktiv_icon

14:39 Uhr, 04.06.2015

Ok, damit sollte die Aufgabe durch sein. Was ein Theater. Danke für die Hilfe. :-)

Gruß!

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