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Koeffizientenmatrix bezüglich der Basen A und B

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Basen, basis, Koeffizientenmatrix, Vektorraum

kilian1993 aktiv_icon

14:59 Uhr, 21.02.2013

Hallo :)

ich bereite mich gerade auf meine Klausur in der Linearen Algebra vor und hänge an dieser Aufgabe:

Sei V $\subset$ $R$ (x) (<-- konnte hier keine eckigen Klammern um das x machen) der dreidimensionale reelle Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2. Zwei Basen von V sind gegeben durch A = (1,x, $x^{2}$ ) und B = ( ${2 x}^{2}$ -x-1, ${- 2 x}^{2}$ +3x+2, ${- x}^{2}$ +x+1). (<-- auch hier konnte ich keine geschweiften Klammern machen)

Bestimmen Sie $T_{A}^{B}$ und $T_{B}^{A}$ .

Mein Ansatz:

Ich schätze mal mit $T_{A}^{B}$ ist die Koeffizientenmatrix zu den Basen B und A gemeint (Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege!). In einer anderen Aufgabe hab ich mal die Koeffizientenmatrix zu einem BASENPAAR berechnet. Das ging eigentlich ziemlich leicht. Nun weiß ich aber überhaupt nicht, wie ich denn die Koeffizientenmatrix zu zwei unterschiedlichen Basen ausrechnen soll...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

kilian1993 aktiv_icon

16:32 Uhr, 21.02.2013

PUSH

pwmeyer aktiv_icon

20:04 Uhr, 21.02.2013

Hallo,

"Ich schätze mal mit TAB⁢ ist die Koeffizientenmatrix zu den Basen

B

und A gemeint (Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege!). "

Das musst Du schon selbst aus Deinem Skript herausfinden. Die Bezeichnungen sind nicht weltweit einheitlich. Insbesondere musst du klären ob der obere Index die Basis des Urbildraums bezeichnet oder umgekehrt. Dann kannst Du natürlich auch gleich die gesamte Definition dieses Objekts nachschauen.

Gruß pwm

kilian1993 aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.02.2013

Ich habe im Skript nichts hilfreiches zu dieser Aufgabe gefunden...

Die Aufgabe ist auch nicht von meinem Prof. oder seines Arbeitsgruppe, sondern aus einem früherem Semester von einem anderen Prof. weshalb ich auch keine Lösung dazu habe (bzw. Definition von ihm).

Ich weiß aber, dass ich hier die Koeffizientenmatrix bezüglich der beiden Basen darstellen soll.

Hier mal ein Beispiel wie ich das zu einem Basenpaar gemacht habe:

Voraussetzung:

$S e i e n V : R_{2} [x] u n d φ : V \to V m i t φ (f (x)) : = f' (x)$ die Ableitungsfunktion und $B_{v} : = {1, x, x^{2} + 1}$ eine Basis von V.

Beweis: Koeffizientenmatrix von $φ$ bezüglich des Basenpaares $B_{v}$ , $B_{v}$ :

$φ$ (1) = 0 = 0*1 + 0*x + 0*( $x^{2}$ +1)

$φ$ (x) = 1 = 1*1 + 0*x + 0*( $x^{2}$ +1)

$φ$ ( $x^{2}$ +1) = 2x = 0*1 + 2*x + 0*( $x^{2}$ +1)

Daraus ergibt sich die Koeffizientenmatrix:

$M_{B_{v}}^{B_{v}} (φ) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ .

anonymous

14:39 Uhr, 01.03.2013

Das Problem ist weiterhin das, dass nicht wirklich klar ist, ob

T_{B}^{A} \cdot T_{A}^{B} = T_{B}^{B}

ist oder

T_{B}^{A} \cdot T_{A}^{B} = T_{A}^{A}

ist, also wie ihr da die Reihenfolge habt.
Sonst kann es sein, dass wir dir hier sagen: So und so bekommt man

T_{A}^{B},

dabei ist es aber

T_{B}^{A}

.
Wir haben zum Beispiel dieses Semester

_{A} [i d]_{B}

und

_{B} [i d]_{A},

statt

T_{A}^{B}

und

T_{B}^{A}

verwendet, nur dass du mal siehst, warum mir beispielsweise nicht klar ist, wie ihr das geregelt habt.

Damit hier mal etwas vorwärts geht, gehe ich nun einfach davon aus, dass ihr die wohl üblichere Reihenfolge gewählt habt, dass in diesem Fall

T_{B}^{A} \cdot T_{A}^{B} = T_{B}^{B}

wäre.

Erst einmal die Unterschiede zu deinem Beispiel aus dem vorigen Beitrag:
Hier hat man nicht direkt eine Abbildung gegeben zu der man eine Darstellungsmatrix sucht. Naja, eigentlich schon. Man sucht hier im Prinzip die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung zu den Basen A und B.
Weiterhin hat man hier zwei verschiedene Basen, A und

B,

anstatt nur einer,

B_{v}

.

Nun aber zur eigentlichen Aufgabe:

T_{A}^{B}

soll, multipliziert mit einem Vektor dargestellt zur Basis

B,

diesen Vektor dargestellt zur Basis A liefern.

Die Matrix ist nun (genau wie eine entsprechende lineare Abbildung) schon dadurch festgelegt, was sie mit den Vektoren einer Basis anstellt.

Du schaust also was passiert mit den Basisvektoren von

B

dargestellt zur Basis B.
(Du könntest auch schauen, was mit den Basisvektoren von A dargestellt zur Basis

B

passiert. Allerdings müsstest du dann erst herausfinden, wie diese Vektoren aussehen.)
Du schaust also, was beispielsweise mit dem ersten Basisvektor von

B

zur Basis

B

passieren soll:

{[2 x^{2} - x - 1]}_{B} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Naja, es soll gelten:

T_{A}^{B} \cdot {[2 x^{2} - x - 1]}_{B} = {[2 x^{2} - x - 1]}_{A}

Wie sieht nun aber

{[2 x^{2} - x - 1]}_{A},

also der Vektor

2 x^{2} - x - 1

dargestellt zu Basis

A,

aus?
Es gilt einfach:

{[2 x^{2} - x - 1]}_{A} = 2 \cdot {[x^{2}]}_{A} - {[x]}_{A} - {[1]}_{A} = 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Also:

T_{A}^{B} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Nun ist

T_{A}^{B} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

einfach die erste Spalte von

T_{A}^{B},

schließlich gilt:

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = T_{A}^{B} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} t_{1, 1}^{A B} & t_{1, 2}^{A B} & t_{1, 3}^{A B} \\ t_{2, 1}^{A B} & t_{2, 2}^{A B} & t_{2, 3}^{A B} \\ t_{3, 1}^{A B} & t_{3, 2}^{A B} & t_{3, 3}^{A B} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} t_{1, 1}^{A B} \\ t_{2, 1}^{A B} \\ t_{3, 1}^{A B} \end{matrix})

Auf gleiche Weise verfährt man auch mit den restlichen Basisvektoren von

B,

um die restlichen Spalten von

T_{A}^{B}

zu erhalten.

Für

T_{B}^{A}

kann man sich dann zu nutze machen, dass

T_{B}^{A}

logischerweise gleich dem Inversen von

T_{A}^{B}

sein muss. Schließlich ist

T_{B}^{A}

einfach die entsprechende Rücktransformation.
Alternativ kann man natürlich

T_{B}^{A}

analog zu

T_{A}^{B}

berechnen, was aber wohl etwas aufwändiger ist.

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