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Koeffizientenmatrix und Basiswechsel

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basiswechsel, Koeffizientenmatrix, Lineare Abbildungen

sommy aktiv_icon

13:50 Uhr, 25.12.2013

Hallo alle zusammen.
Ich habe hier eine Aufgabe, die mich nun schon seit Wochen in den Wahnsinn treibt, ich komme einfach auf keinen Lösungsansatz. Die Lösung habe ich, nur weiß ich nicht wie man darauf kommt - alle meine bisherigen Rechnungen haben auf ein falsches Ergebnis geführt. Die Aufgabe inkl. Ergebnis findet ihr im Bild.
Was mir bisher am sinnvollsten erschien, ist A auf die erste Basis anzuwenden und das Ergebnis als Kombination der zweiten Basis aufzuschreiben. Dann habe ich ein

B

gesucht, bei dem bei Anwendung auf die dritte Basis ich ein Ergebnis bekomme, das ich mit den gleichen Skalaren etc. wie davor mit der vierten Basis ausdrücken kann. Dabei kam ich auf

(\begin{matrix} 5 & - 32 & 46 \\ 2 & - 10 & 13 \end{matrix}),

also falsch.
Habe nun auch versucht, nachdem ich das hier gesehen habe ( upload.wikimedia.org/math/9/e/6/9e601bef287922cf3e7112617c307f74.png

),

die Basiswechselmatrix von der 2. in die

4 .;

und der 3. in die 1. Basis zu berechnen und einzusetzen, leider ebenfalls ohne Erfolg.

Ich frage mich in dem Zusammenhang vorallem, was die Koeffizientenmatrix sein soll. Ich kenne diesen Begriff bisher nur im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen, nicht mit linearen Abbildungen - habe es hier aber einfach mal als die Matrix der lin. Abbildung aufgefasst. Vielleicht liegt hier ja der Fehler? Ich bin für jeden Hinweis dankbar, mit dem man diese Aufgabe verstehen kann.

Danke schonmal und frohe Weihnachten ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Aurel

04:16 Uhr, 26.12.2013

ich vermute, du hast bei der Formel upload.wikimedia.org/math/9/e/6/9e601bef287922cf3e7112617c307f74.png

die Transformationsmatritzen

T_{B'}^{B}

und

T_{A}^{A^{'}}

nicht richtig berechnet

wie bist du bei der Berechnung der Transformationsmatritzen vorgegangen?

sommy aktiv_icon

21:38 Uhr, 26.12.2013

Die erste und zweite Base sind ja die Standardbasen, sodass ich als Transformationsmatrizen von den alten zu den neuen Basen jeweils die neuen Basisvektoren als Matrix zusammengeschrieben habe.

1 \to 3

ist somit

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

und

2 \to 4

ist

(\begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{matrix})

1 \to 3

habe ich dann noch invertiert (für

3 \to 1),

wobei

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix})

herauskam

2 \to 4

habe ich dann als die erste, meine gegebene Matrix als zweite und

3 \to 1

als dritte Matrix eingesetzt. Dabei kam leider

(\begin{matrix} 5 & - 32 & 46 \\ 2 & - 10 & 13 \end{matrix})

raus (schon wieder, trotz anderem Rechenweg?)

anonymous

22:34 Uhr, 26.12.2013

Du hast den Basiswechsel in die falsche Richtung durchgeführt, denn

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

bewirkt beispielsweise einen Basiswechsel "

3 \to 1

" statt "

1 \to 3

".

Ein Beispiel, damit es klarer wird:

Angenommen man hat den Vektor:

v = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Die Darstellung bzgl. der Standardbasis ist offensichtlich:

{[v]}_{β_{1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Die Darstellung bzgl. der neuen Basis ist offensichtlich:

{[v]}_{β_{3}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

- -

Zwischenbemerkung

- -

Und hier liegt meist auch der Grund für einen beliebten Fehler. Denn viele verwechseln gerne

{[v]}_{β_{1}}

und

{[v]}_{β_{3}}

und denken, es müsste

{[v]}_{β_{3}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

gelten, wenn

{[v]}_{β_{3}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

gilt, was aber nicht der Fall ist.

- - - -

Wenn nun die Matrix

{[i d]}_{β_{1}}^{β_{3}} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

von der alten Standardbasis zur neuen Basis transformieren würde, müsste gelten:

{[i d]}_{β_{1}}^{β_{3}} \cdot {[v]}_{β_{1}} = {[v]}_{β_{3}}

In Wirklichkeit gilt jedoch:

{[i d]}_{β_{1}}^{β_{3}} \cdot {[v]}_{β_{1}} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = {[v]}_{β_{3}}

{[i d]}_{β_{1}}^{β_{3}} \cdot {[v]}_{β_{3}} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = {[v]}_{β_{1}}

Fazit:

In Wirklichkeit gilt nun:

B \neq (\begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot A \cdot {(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})}^{- 1}

B = {(\begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{matrix})}^{- 1} \cdot A \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

sommy aktiv_icon

00:20 Uhr, 27.12.2013

Jetzt bin ich verwirrt...
Du schreibst die Darstellung bzgl. der neuen Basis ist offensichtlich, das ist sie für mich aber leider gerade nicht. Meinst du mit

[v] β 3

den Vektor in der alten Basis, der nach der Transformation

1 \to 3

den Vektor

v

ergibt? Kurzum, mir ist nicht klar, was das

v

in der Klammer mit dem niedriggestellten

β

jeweils genau ist.

Es gilt:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Soweit komme ich mit.
Aber transformiert die Matrix dann eben nicht genau von der 1. zur 3. Basis? (und nicht andersherum, wie du sagst). Vor dem Gleichheitszeichen steht schließlich ein Element der ersten, danach das dazugehörige der dritten Basis. Ich mache also den Schritt

1 \to 3

Wahrscheinlich verstehe ich gerade irgendwas simples falsch, insofern tuts mir schonmal Leid, aber vielen Dank dass ihr euch mit mir solche Mühe gebt :-) Mathe ist im Studium leider nicht gerade meine Stärke.

anonymous

01:29 Uhr, 27.12.2013

Nein, es ist gerade anders herum, als du denkst. Aber keine Sorge. Das ist ein Fehler, den am Anfang leider viele Studenten machen. Das bekommen wir hoffentlich hin.

Zunächst zu

{[v]}_{β_{1}}

und

{[v]}_{β_{3}} :

Ich habe für die Notation, welche ich verwende, mit

β_{1}

die Standardbasis und mit

β_{3}

die neue Basis bezeichnet.

{[v]}_{β_{1}}

bzw.

{[v]}_{β_{3}}

bezeichnet dann die Darstellung des Vektors

v

zur Basis

β_{1}

bzw.

β_{3}

. Die folgende Erklärung soll dir nun zunächst einmal vermitteln, was denn mit den Darstellungen

{[v]}_{β_{1}}

und

{[v]}_{β_{3}}

gemeint ist.

Seien

X = (x_{1}, ..., x_{n})

und

Y = (y_{1}, ..., y_{n})

(geoordnete) Basen eines

n

-dimensionalen Vektorraums

V

über einem Körper K. Da

X

eine Basis ist, gibt es dann zu jedem Vektor

v \in V

eindeutig bestimmte Koeffizienten

λ_{1}, ..., λ_{n} \in K,

so dass:

v = λ_{1} \cdot x_{1} + ... + λ_{n} \cdot x_{n}

Dann meine ich mit

{[v]}_{X}

die Darstellung von

v

zur Basis

X,

so dass also:

{[v]}_{X} = (\begin{matrix} λ_{1} \\ ⋮ \\ λ_{n} \end{matrix})

Y

auch eine Basis von

V

ist, gibt es zum GLEICHEN Vektor

v \in V

auch entsprechende

μ_{1}, ..., μ_{n} \in K,

so dass:

v = μ_{1} \cdot x_{1} + ... + μ_{n} \cdot x_{n}

Die Darstellung von

v

zur Basis

Y

ist dann:

{[v]}_{Y} = (\begin{matrix} μ_{1} \\ ⋮ \\ μ_{n} \end{matrix})

Schau dir jetzt nochmal das

v

aus dem Beispiel aus meinem vorigen Beitrag an.
Dieses habe ich als entsprechende Linearkombination der Basisvektoren geschrieben. Die Koeffizienten in diesen Linearkombinationen liefern direkt die Darstellung des Vektors zur entsprechenden Basis.

Ist jetzt klar, was

{[v]}_{β_{1}}

und

{[v]}_{β 3}

sind?

Dann könnte/sollte dir im Folgenden auch klar werden, dass sich bei einem Basiswechsel nicht die Vektoren oder linearen Abbildungen ändern, sondern ihre Darstellungen.

So beschreiben beipielsweise

p (x) = 3 \cdot (x^{2} - 1) + 2 \cdot x + 1

und

p (x) = 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot (x - 1)

die gleichen Polynome, ihre "Darstellung" ist jedoch verschieden. So kann man sich das evtl. denken.

Jedenfalls bezeichne ich also mit

{[v]}_{β_{3}}

nicht den Vektor in der alten Basis, sondern die Darstellung des Vektors zur neuen Basis (welche ich mit

β_{3}

bezeichnet habe, übrigens in Anlehnung an deine " 3 " von "

1 \to 3

" bzw. "

3 \to 1

"; nur war mir nur die 3 als Bezeichnung aufgrund von Verwechslungsgefahr mit der reellen Zahl 3 zu wenig).

Leider bin ich jetzt doch recht müde geworden, so dass ich die Erklärung zum Hauptproblem, warum die Matrix

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

einen Basiswechsel "

3 \to 1

" (also einen Wechsel von der Darstellung zur neuen Basis

β_{3}

zu der Darstellung zur alten Standardbasis

β_{1})

bewirkt (und nicht umgekehrt, wie man zunächst vermuten könnte, wenn man sieht, dass die alte Basis von der Matrix auf die neue abgebildet wird) auf Morgen verschieben werde.

Gute Nacht!

anonymous

14:24 Uhr, 27.12.2013

Nun also zum Hauptproblem:

Wie ich in einem vorigen Beitrag

(22 : 34 U h r, 26.12.2013)

bereits am Beispiel zu vermitteln versucht habe, gilt:

{[v]}_{β_{3}} \neq (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot {[v]}_{β_{1}}

{[v]}_{β_{1}} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot {[v]}_{β_{3}}

Wobei ich die folgende Bezeichnung als Abkürzung gewählt habe:

{[i d]}_{β_{3}}^{β_{1}} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Wenn man also die Matrix

{[i d]}_{β_{3}}^{β_{1}}

mit der Darstellung

{[v]}_{β_{1}}

des Vektors

v

zur ursprünglichen (Standard-)Basis

β_{1}

multipliziert, so erhält man eben nicht die Darstellung

{[v]}_{β_{3}}

des Vektors

v

zur neuen Basis

β_{3}

. Umgekehrt wird ein Schuh daraus.

Dass die Matrix dabei umgekehrt die Vektoren der Basis

β_{1}

auf die Vektoren

β_{3}

abbildet ist eher Zufall (naja, nicht ganz Zufall). Warum?

Wie wäre es, wenn man mal weggeht von den Standartvektorräumen. Wenn man beipielsweise den Vektorraum der Polynome (reelle Koefizienten, Variable

x)

mit Grad kleiner oder gleich 2 betrachtet. Dann wären beispielsweise

γ_{1} = (1, x, x^{2})

und

γ_{2} = (1 + x + x^{2}, 1 + x, 1)

Basen des Vektorraums.

Hier kann man erkennen, dass man Matrizen gar nicht mit den Vektoren selbst multipliziert werden können. Was wäre denn auch beispielsweise

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (x^{2} + 2 x + 1)

Geht nicht, oder?

Und genau hier kommen nun die Darstellungen ins Spiel. Es gilt:

x^{2} + 2 x + 1 = 1 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 1 \cdot 1 \Rightarrow {[x^{2} + 2 x + 1]}_{γ_{1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

x^{2} + 2 x + 1 = 1 \cdot (x^{2} + x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + (- 1) \cdot 1 \Rightarrow {[x^{2} + 2 x + 1]}_{γ_{3}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

Diese Darstellungen kann man dann mit entsprechenden Matrizen abbilden.

Um nun also wieder zum vorigen Beispiel zurückzukehren.
Bei einem Basiswechsel von

β_{1}

β_{3},

soll die enstprechende Basiswechsel-Matrix

M

nicht den Basisvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \in β_{1}

auf den Basisvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \in β_{3}

abbilden. Wie du bei dem Beispiel mit dem Polynomraum sehen solltest, wäre dies in den meisten Vektorräumen gar nicht möglich. Vielmehr soll die Basiswechsel-Matrix multipliziert mit der Darstellung eines Vektors zur Basis

β_{1}

die Darstellung des gleichen Vektors zur Basis

β_{3}

ergeben.

Wenn man also

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

hineinsteckt, so ist dies eigentlich nicht der Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}),

sondern die Darstellung

{[v]}_{β_{1}}

eines Vektors

v,

welcher zufälligerweise (da

β_{1}

die Standardbasis ist) auch

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ist.
Jedenfalls soll dann die entsprechene Matrix

M

einen entsprechenden Darstellungswechsel bewirken.

M \cdot {[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})]}_{β_{1}} = {[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})]}_{β_{3}}

Nun ist

{[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})]}_{β_{3}}

jedoch nicht einfach gleich

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

.

Da nämlich

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt, folgt:

{[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})]}_{β_{3}} = (0, 0, 1)

Daher muss für eine Matrix

M,

die einen Basiswechsel von

β_{1}

β_{3}

bewirken soll (unter anderem) gelten:

M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = M \cdot {[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})]}_{β_{1}} = {[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})]}_{β_{3}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Das war jetzt etwas lang. Aber hoffentlich kannst du damit erkennen, warum du den Basiswechsel in die falsche Richtung durchgeführt hast.

(Ich habe vor später auch noch eine Anleitung zu geben, wie man die Matrix für einen Basiswechsel korrekt bestimmen kann.)

sommy aktiv_icon

15:01 Uhr, 27.12.2013

Holla, das war ausführlich. Vielen Dank dafür! Ich hab versucht den ersten Post über Nacht nochmal zu durchdenken und ich MEINE jetzt zumindest zu verstehen, was ich falsch gemacht habe.
Also nochmal die Rückfrage, um sicher zu gehen, dass ichs richtig sehe: Die Matrix einer linearen Abbildung wird nicht auf einen Vektor selbst angewendet, sondern auf den Koeffizientenvektor (der sich wiederum auf eine Basis bezieht)?
Um auf die Aufgabe zurückzukommen: Angenommen ich habe einen Vektor

v

. Für den stelle ich den Koeffizientenvektor bezogen auf die erste Basis auf. Ich wende die Matrix A auf den Koeffizientenvektor 1 an und bekomme den Koeffizientenvektor 2 (also bez. auf die 2. Basis) heraus. Der 2. Basis kann ich jetzt ja die Koeffizienten zuordnen (In Ermangelung eines besseren Wortes) und bekomme damit einen Vektor

w

heraus.
Das gleiche kann ich mit der 3. Basis und wieder dem selben Vektor

v

machen. Koeffizientenvektor aufstellen, aber diesmal die gesuchte Matrix

B

darauf anwenden. Dadurch bekäme ich den Koeffizientenvektor 4 heraus. Ordne ich der 4. Basis nun diese Koeffizienten zu, liege ich richtig in der Annahme, dass dann wieder der selbe Vektor

w

wie davor herauskommt?
Wenn das stimmt, dann durchblicke ich das ganze soweit, dass ich zur Klausur auch guten Gewissens die Formel auswendiglernen kann, ohne es mir jedes mal neu herzuleiten ;-)

Zum Thema Matrix für einen Basiswechsel korrekt bestimmen - ich glaube das kann ich bereits. Ja, die beiden Matrizen waren falsch, das lag aber in erster Linie daran, dass ich meinem ursprünglichem Ergebnis nicht getraut und dann lieber Matrizen so gesucht habe, wie es mir gepasst hat. Es funktioniert doch so, dass man die alte Basis als Linearkombination der neuen darstellt und die Koeffizienten dann spaltenweise sammelt, oder?

Eine Kleinigkeit nur noch - du schreibst

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Im letzten Vektor gehört einfach nur die

1

in die erste Zeile, oder?

In jedem Fall nochmal ein FETTES Danke, dass du dir die Zeit nimmst, mir das hier klar zu machen!

anonymous

15:10 Uhr, 27.12.2013

Ja, deine Beschreibungen passen.

Und ich habe mich bei dem genannten Vektor verschrieben, richtig.

sommy aktiv_icon

15:15 Uhr, 27.12.2013

Das freut mich - vielen vielen Dank für die Hilfe nochmal.
Dann werde ich mich mit dem neuen Wissen auch mal an die anderen Aufgaben ranmachen :-)

(Die ursprüngliche Aufgabe stimmt jetzt übrigens - halleluja ;-))

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