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Koeffizientenvergleich

Schüler

Tags: Mündliche Prüfung

anne123 aktiv_icon

10:37 Uhr, 09.05.2014

Hallo,

für eine Hausarbeit soll ich den Koeffizientenvergleich als Integrationsmethode bei Expotentialfunktionen beurteilen. Bzw. die Anwendbarkeit der Methode in Hinblick auf verschiedene Expotentialfunktionen.

zu behaupten es sei eine gutes Hilfsmittel für alle polynomartigen funktionen wäre wahrscheinlich nicht richtig oder?

Habt ihr ein beispiel für welche funktionen es nicht zu lösen wäre?

ich freue mich wirklich wirklich wirklich für jede kleine Hilfe

⋆ ⋆

Stephan4

12:25 Uhr, 09.05.2014

Was sind "Expotentialfunktionen"?

Google bringt tausende Ergebnisse für "Koeffizientenvergleich Exponentialfunktionen", und das in

0,15

Sekunden.

Da ist auch der Anwendungsbereich beschrieben. Wenn Du mal ein Beispiel geben könntest, wo der Koeffizientervergleich angewendet wird

. .

anne123 aktiv_icon

12:44 Uhr, 09.05.2014

hey, lieben dank erst einmal für deine rückmeldung.

ich habe den koeffizientenvergleich schon verstanden. nur geht es mir darum, bei welchen typen vpn funktionen ich das anwenden kann um meine stammfunktion

z . b

. zu finden und bei welchen eben nicht und warum nicht.

habe ich die frage verständlicher machen können?

anne123 aktiv_icon

12:44 Uhr, 09.05.2014

z . b

. zu finden und bei welchen eben nicht und warum nicht.

habe ich die frage verständlicher machen können?

Stephan4

13:01 Uhr, 09.05.2014

Koeffizientenvergleich kommt zum Beispiel bei der Partialbruchzerlegung (siehe google oder Wikipedia) vor.

Diese wird angewendet, um eine bestimmte Funktion integrieren zu können.

Und nochmals: Geht es um Expotentialfunktionen oder doch nur um Exponentialfunktionen? Du hast diesen Ausdruck

2 x

verwendet, und wenn sich das bis zur Hausarbeit fortsetzt, stehst Du dumm da.

anne123 aktiv_icon

13:04 Uhr, 09.05.2014

die aufgabe lautet: beurteilen sie die anwendbarkeit der methode (koeffizientenvergleich) im hinblick auf verschiedene typen von expotentialfunktionen.

Stephan4

13:12 Uhr, 09.05.2014

Gut, wenn Du darauf bestehst? Zu Expotentialfunktionen kann ich nichts sagen, sorry.

anne123 aktiv_icon

13:33 Uhr, 09.05.2014

:-D) mein lehrer besteht auf diese aufgabe nicht ich.

ich habe eine funktion bekommen dritten grades mit einer

e

funktion kombiniert (ergibt zwei prdoukte), diese habe ich gelößt mittels des koeffizientenvergleichs, kein thema, stammfunktion konnte ich finden damit auch integrieren bla blub.

dennoch bleibt die frage bei welcher art von funktion kann ich diese methode des koeffizientenvergleichs generell nutzen und bei welchen eben nicht, bei welchen funktionen komme ich mit dem koeffizientenvergleich bespielsweise nicht weiter.

alle polynomartige funktionen lassen den koeffizientenvergleich zu, was ist aber wenn ich eine cosinus funktion habe? oder sinus oder was auch immer... dann kann ich doch nicht mehr sagen F´(x)=f(x)....

prodomo aktiv_icon

14:51 Uhr, 09.05.2014

Diese Methode eignet sich sehr gut zur Integration von Funktionen des Typs

f (x) = p_{n} (x) \cdot e^{k \cdot x},

wobei

p_{n} (x)

ein Polynom nten Grades sein soll. Je höher der Grad

n,

desto größer ist der Vorteil gegenüber der partiellen Integration. Die Idee dahinter ist, dass die Ableitung einer solchen Funktion ja

p_{n}' (x) \cdot e^{k \cdot x} + k \cdot e^{k \cdot x} \cdot p_{n} (x)

lautet.

p_{n}' (x)

ist dann aber ein Polynom (n-1)ten Grades. Damit aber ist die Summe

p_{n} (x) + k \cdot p_{n}' (x),

die man nach dem Ausklammern von

e^{k \cdot x}

erhält, nur ein anderes Polynom nten Grades, also sind Funktion und Ableitung vom gleichen Typ, damit aber auch Funktion und Stammfunktion, weil das gleiche Argument ja auch beim Aufleiten gilt.
Für sin-Fkt. etc. klappt das nicht, dort gibt es andere Verfahren.
Zur Veranschaulichung rechne

z . B

. nur

\int (x^{2} + 2 \cdot x + 1) \cdot e^{- x} \cdot d x

auf diese Weise und mit partieller Integration vor, dann wird der Vorteil sofort klar. Bei der partiellen Integration sinkt der Grad des Polynoms bei dem Term

\int u' \cdot v

nämlich nur um

1,

sodass man schon hier zweimal nacheinander partiell integrieren muss, weil nur

\int e^{- x}

elementar lösbar ist.

anne123 aktiv_icon

15:16 Uhr, 09.05.2014

wow!

vielen Dank für diese Antwort. Du hast den Nerv der Frage voll getroffen.
Da ich in Mathe aber die ein oder andere Stunde ein wenig verschlafen habe wie es scheint habe ich ein paar Verständnisfragen:

polynom nten grades bedeutet jeglichen grades mit natürlichen zahlen?

Je höher der Grad

n,

desto größer ist der Vorteil gegenüber der partiellen Integration--> könntest du das näher erläutern?

(n-1)ten Grades

- \to

bedeutet?

weil das gleiche Argument ja auch beim Aufleiten gilt.

...

prodomo aktiv_icon

17:59 Uhr, 09.05.2014

Der Grad eines Polynoms richtet sich nach der höchsten vorkommenden Potenz von

x

. Beim Ableiten wird ja die neue Hochzahl um 1 kleiner.
Wenn Funktion und Ableitung von gleichen Typ sind, dann ebenso Stammfunktion und Funktion (die ist ja die Ableitung der Stammfunktion)
Vorteil am Beispiel von

\int (x^{2} + 2 \cdot x + 1) \cdot e^{- x} \cdot d x

Mit partieller Integration:

u (x) = x^{2} + 2 \cdot x + 1 \Rightarrow u' (x) = 2 \cdot x + 2

v' (x) = e^{- x} \Rightarrow v (x) = - e^{- x}

Also

\int (x^{2} + 2 \cdot x + 1) \cdot e^{- x} \cdot d x = - (x^{2} + 2 \cdot x + 1) \cdot e^{- x} - \int - (2 \cdot x + 2) \cdot e^{- x} = - (x^{2} + 2 \cdot x + 1) \cdot e^{- x} + \int (2 \cdot x + 2) \cdot e^{- x} \cdot d x

Das letzte Integral

\int (2 \cdot x + 2) \cdot e^{- x} \cdot d x

muss jetzt seinerseits wieder mit partieller Integration gelöst werden. Das ist zwar etwas einfacher als im ersten Schritt, weil statt eines quadratischen Polynoms jetzt nur ein lineares vorkommt, aber immer noch sehr viel aufwändiger als die Koeffizientenvergleichsmethode, die in einem Schritt zur Lösung führt und für die man gar keine Integration, sondern nur das Ableiten zu können braucht !
Wäre man mit einem Polynom 4. Grades angefangen, bräuchte man 4 mal die partielle Integration....

prodomo aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.05.2014

Bevor du dich weiter wunderst, warum stephan 4 sich ausgeklinkt hat. Du hast Expo-T-entialfunktionen gepostet, es heißt aber Expo-N-entialfunktionen.....

Stephan4

19:49 Uhr, 09.05.2014

Nein, prodomo, nicht deshalb habe ich mich ausgeklinkt, sondern weil meine Kenntnisse bei weitem nicht an Deine heran reichen. So war mein Beitrag mit dem Hinweis auf den offensichtlichen Tippfehler erschöpft. Ich verfolge Deine Ausführungen, prodomo, immer mit großem Interesse. Auch hier.

anne123 aktiv_icon

14:27 Uhr, 10.05.2014

ok sorry- da war ich beim tippen einfach konsequent unaufmerksam ;-)

deine antwort ist top. ich habs nun richtig verstehen können. vielen vielen dank an dieser stelle für die zeit und die mühe.

ich will es nicht ausreizen aber eeeeine letzte frage habe ich da noch:

ich sollte in einer aufgabe das volumen eines grabens berechnen auf einem kilometer länger. mit der integralrechnung habe ich erst einmal eine fläche von

7,34

(FE)/Flächeneinheiten. nun entspricht eine längeneinheit

10 m -

und die breite dieses grabens liegt bei

1,36

längeneinheiten was dann

13,6 m

entspricht. nur wie rechne ich dann das volumen des grabens aus?

7,34 x 1,36 x 1000

\frac{:}{}

und hab dann volumeneinheiten raus?

Stephan4

14:42 Uhr, 10.05.2014

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