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Körper - Beweis von Ungleichungen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

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15:33 Uhr, 29.10.2011

Hallo Leute,

habe folgende Aufgabe:

Sei K ein angeordneter Körper, und seien

a, b, c, d \in K

. Zeigen Sie:

(i) Für alle

x \in K {0

} gilt

a b \leq 1 / 2 * (a^{2} x^{2} + (b^{2} / x^{2}))

, wobei 2:=1+1 sei.

Wie genau kann ich so eine Ungleichung beweisen? Hatte erst die Idee

a b

so umzuformen, dass ich die rechte Seite erzeuge.

Die Gesetze, die in einem Körper herrschen sind mir bekannt, muss ich die irgendwie mit einbeziehen? Bräuchte nur einen Ansatz, in welcher Form der Beweis am Ende steht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:43 Uhr, 29.10.2011

Hallo,

vermutlich hilft es, wenn Du mit ${(a x - \frac{b}{x})}^{2}$ beginnst.

Gruß

Stephan

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18:43 Uhr, 29.10.2011

Das ist doch nicht das Gleiche, bei

{(a \cdot x + \frac{b}{x})}^{2}

gelten doch die binomischen Formeln oder bin ich nun ganz bekloppt?

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18:50 Uhr, 29.10.2011

Wer hat behauptet, dass es dasselbe ist? Es ist nützlich.

$0 \leq {(a x - \frac{b}{x})}^{2} = (a x)^{2} - 2 a x \frac{b}{x} + {(\frac{b}{x})}^{2} = a^{2} x^{2} - 2 a b + \frac{b^{2}}{x^{2}}$

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19:05 Uhr, 29.10.2011

Verstehe.

a \cdot b \leq \frac{1}{2} \cdot (a^{2} x^{2} + \frac{b^{2}}{x^{2}}) \Leftrightarrow 2 a \cdot b \leq a^{2} x^{2} + \frac{b^{2}}{x^{2}}

Und mit deiner Gleichung hätte ich:

0 \leq a^{2} x^{2} - 2 a \cdot b + \frac{b^{2}}{x^{2}} \Leftrightarrow 2 a \cdot b = a^{2} x^{2} + \frac{b^{2}}{x^{2}}

Das könnte ich nun gleichsetzen und hätte das ganze bewiesen, aber das Gleichung war ja nicht gegeben, also bringt mir das doch eigentlich nichts oder?

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19:06 Uhr, 29.10.2011

Rechne halt mit dem weiter, was ich Dir schon vorgerechnet habe, bringe 2ab auf die andere Seite, multipliziere mit 1/2 und dann steht da, was Du beweisen willst.

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19:18 Uhr, 29.10.2011

Das hab ich ja in meinem Post gemeint. Aber ich kann doch nicht einfach so das hernehmen, irgendwie muss ich das doch herleiten oder? Und vorallem kann ich ja nicht einfach so behaupten, dass der Term von dir größer gleich 0 ist oder?

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19:29 Uhr, 29.10.2011

Das kommt natürlich darauf an, was Du bereits über geordnete Körper weißt.

$0 \leq z^{2}$ gilt jedenfalls für jedes z. Daher stimmt mein Ansatz.

Insbesondere ist dann 0<1^2=1

Ferner gilt für jedes c auch $0 \leq z \Rightarrow c \leq c + z$ , daher kann man -2ab mit +2ab auf die andere Seite bringen.

Aus u<v und w<x folgt u+w<v+x, daher ist mit 0<1 und 0<1 auch 0=0+0<1+1=2 und somit auch 0<1/2

Ferner folgt aus $u \leq v$ und z>0 auch $u z \leq v z$ , daher kann man die Gleichung mit 1/2 multiplizieren.

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19:31 Uhr, 29.10.2011

Alles klar, ich denke, dann weiß ich, wie ich weitermache, danke.

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20:05 Uhr, 29.10.2011

Wobei, habe noch eine Frage:

Könnte ich damit auch

a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}

beweisen?

Mathe-Steve aktiv_icon

20:12 Uhr, 29.10.2011

Ja, mit dieser Ungleichung gilt

$a b \leq \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} a c \leq \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} c^{2} b c \leq \frac{1}{2} b^{2} + \frac{1}{2} c^{2}$

alles zusammen ergibt Deine Ungleichung.

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20:34 Uhr, 29.10.2011

Alles klar, danke.

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