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Körper, Verknüpfungen

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Körper

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Gruppen, Körper, Reihen

17Student20 aktiv_icon

21:37 Uhr, 13.10.2012

Wir betrachten auf der Menge

Q

der rat. Zahlen zwei neue Verknüpfungen

a ⊕

b := a + b + 1

und a ⊗

b :=

+ a + b

.

Zeigen sie, dass (Q,⊕,⊗) ein Körper ist. Welche Elemente aus

Q

spielen die Rolle der Null und der Eins 1 für die neuen Verknüpfungen? Wie findet man das Inverse eines Elementes a ungleich 0?

Berechnen Sie auch die Elemente

2 := 1

⊕

1, 3 := 1

⊕ 1 ⊕ 1 usw. Welchen Verdacht haben Sie?

Zum ersten Teil ich soll zeigen, dass (Q,⊕,⊗) ein Körper ist... Nun habe ich nach langem Überlegen festgestellt, dass ich die Körperaxiome zeigen muss? Stimmt das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

17Student20 aktiv_icon

21:56 Uhr, 13.10.2012

Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:

Additive Eigenschaften:

a + (b + c) = (a + b) + c

(Assoziativgesetz)

a + b = b + a

(Kommutativgesetz)
Es gibt ein Element

0 \in K

mit

0 + a = a

(neutrales Element)
Zu jedem

a \in K

existiert das additive Inverse

- a

mit

(- a) + a = 0

Multiplikative Eigenschaften:

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

(Assoziativgesetz)

a \cdot b = b \cdot a

(Kommutativgesetz)
Es gibt ein Element

1 \in

K\setminus\

{

0\} mit

1 \cdot a = a

(neutrales Element).
Zu jedem

a \in

K\setminus\

{

0\} existiert das multiplikative Inverse

a^{- 1}

mit

a^{- 1} \cdot a = 1

Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

(Links-Distributivgesetz)

1 \neq q 0

(sonst wäre der Nullring ein Körper)

Das Rechts-Distributivgesetz

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

folgt dann aus den übrigen Eigenschaften.:

(a + b) \cdot c = c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b = a \cdot c + b \cdot c

17Student20 aktiv_icon

21:59 Uhr, 13.10.2012

soll ich das jetzt so zeigen ?

a + b + 1 = (a + b) + 1 = (b + 1) + a = (a + 1) + b = a + b + 1

???

17Student20 aktiv_icon

22:20 Uhr, 13.10.2012

hmmm ???

el holgazán aktiv_icon

22:27 Uhr, 13.10.2012

Damit hättest du nichts gezeigt.

Ich rechne dir mal das Kommutativgesetz vor:

Zu zeigen ist, für alle

a, b \in ℚ

a \oplus b = b \oplus a

Also:

a \oplus b = a + b + 1 = b + a + 1 = b \oplus a

Das zweite Gleichheitszeichen gilt wegen der Kommutativität von + in

ℚ

Und so gehst du nun alle Axiome durch und überprüfst ob sie stimmen.

17Student20 aktiv_icon

22:30 Uhr, 13.10.2012

a ⊕

b = (a + b) + 1 = (a + 1) + b = a

⊕

b

wäre das so richtig?

17Student20 aktiv_icon

22:34 Uhr, 13.10.2012

für das Assoziativgesetz

17Student20 aktiv_icon

22:56 Uhr, 13.10.2012

müsste doch stimmen oder?

17Student20 aktiv_icon

23:13 Uhr, 13.10.2012

Miese Brise

17Student20 aktiv_icon

00:23 Uhr, 14.10.2012

i

need help... please

michaL aktiv_icon

10:23 Uhr, 14.10.2012

Hallo,

du hast alle Gleichungen aufegführt, deren Gültigkeit du hier überprüfen sollst. Nun tue das einfach: die Gültigkeit der Gleichungen eine nach der anderen prüfen!

Ein Beispiel hast du doch schon erhalten, das ich noch mal auf meine Weise aufführe:
Zu zeigen:

a \oplus b = b \oplus a

Das ist für sich genommen nur eine Abkürzung und kann nicht ohne Rückgriff auf die Bedeutung von "

\oplus

" geprüft werden: Also setze für beide Terme

a \oplus b

und

b \oplus a

gemäß Definition ein und prüfe, ob die erhaltenen Terme äquivalent sind!
Also:

a \oplus b = a + b + 1

b \oplus a = b + a + 1

Nun prüfe, ob gilt

a + b + 1 \overset{?}{=} b + a + 1

!

Stelle deine Vorgehensweise zu dieser Gleichung hier ein und dann gehe die anderen Gleichungen auf die gleiche Weise an!

Mfg Michael

17Student20 aktiv_icon

23:17 Uhr, 14.10.2012

Und welche Elemente aus

Q

spielen die Rolle der Null 0 und der Eins 1 für die neue Verknüpfungen ???

Das Inverse findet man, indem man bei der Addition einfach das negative bildet und bei der Multiplikation den Kehrwert. Okay.

Und wie berechne ich die Elemente

2 := 1

⊕ 1 und

3 := 1

⊕ 1 ⊕ 1 ???

michaL aktiv_icon

07:35 Uhr, 15.10.2012

Hallo,

>Und welche Elemente aus Q spielen die Rolle der Null 0 und der Eins 1 für die neue Verknüpfungen ???
Nun, welche Eigenschaft beschreibt denn die Null? Sie ist doch das neutrale Element der Addition. Soll heißen: Sie löst alle Gleichungen der Art

x \oplus 0 = x

. Transformiere also diese "

\oplus

"-Gleichung in eine mit "regulärem" "+", löse die zugehörige Gleichung und fertig.

Ebenso verfährst du mit der Eins!

>Das Inverse findet man, indem man bei der Addition einfach das negative bildet und bei der Multiplikation den Kehrwert.
> Okay.

Äh Vorsicht. Du begreift immer noch nicht, fürchte ich. Das Negative/Inverse ist immer auf eine Verknüpfung bezogen. Darum geht es ja hier. In den rationalen Zahlen gilt

3 + (- 3) = 0

. In den "neuen" rationalen Zahlen soll auch

3 \oplus (⊖ 3) = 0

gelten, nur bedeutet Null dort etwas andres (jedenfalls in diesem Fall). Demnach bedeutet vermutlich auch

- 3

, besser

⊖ 3

was anderes als bei der anderen Addition.

> Und wie berechne ich die Elemente 2:=1 ⊕ 1 und 3:=1 ⊕ 1 ⊕ 1 ???
Äh, rechne doch einfach

1 \oplus 1

gemäß

a \oplus b := a + b + 1

!

Mfg Michael

17Student20 aktiv_icon

13:42 Uhr, 15.10.2012

Ich krieg die Krise...

Aber beim Assoziativgesetz

z . B

.

da habe ich ja

x + (y + z) = (x + y) + z

aber bei mir ist doch

a + b := a + b + 1

also drei Angaben wie packe ich das dann da rein

. .

. um es zu beweisen...?

michaL aktiv_icon

13:46 Uhr, 15.10.2012

Hallo,

pass auf: du suchst dir jetzt irgend eines der Axiome aus, das du überprüfen willst. Sonst hüpfen wir von einem Unverständnis ins nächste.

Mfg Michael

17Student20 aktiv_icon

13:55 Uhr, 15.10.2012

Also

a + (b + c) = (a + b) + c

Z . B

.

hier ist es ja definiert

a + b := a + b + 1 = a + (b + 1) = (a + b) + 1

und das ist doch eigentlich

= a + b

- \to

weil

a + b := a + b + 1

weil mich verwirrt

naja-.- wie soll ich es erklären...?

michaL aktiv_icon

13:59 Uhr, 15.10.2012

Hallo,

wenn es in deinem Kopf wirklich so ein Durcheinander ist, solltest du zur Studienberatung gehen!

Soll ich dein wirres posting als Antwort auf meine sehr direkte Frage verstehen, welches Axiom du beweisen willst?

Mfg Michael

17Student20 aktiv_icon

14:02 Uhr, 15.10.2012

Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten DeinAlso

a + (b + c) = (a + b) + c

Z . B

.

hier ist es ja definiert

a + b := a + b + 1 = a + (b + 1) = (a + b) + 1

und das ist doch eigentlich

= a + b

−→ weil

a + b := a + b + 1

weil mich verwirrt

naja-.- wie soll ich es erklären...?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Der Punkt ist halt das

am Ende es wieder nicht bewiesen ist weil

a + b . .

. 2 Elemente sind und wir ja 3 brauchen

und

a + b = b + a a + b + 1 = b + a + 1

und das ist ja

= b + a

ZB da sieht man es aber öhm... bei

a + b := a + b + 1 = a + (b + 1) = (a + b) + 1 - - \to

da kann man ja das nicht umdrehen bzw. zeigen

17Student20 aktiv_icon

14:03 Uhr, 15.10.2012

WOLLT IHR HIER LEUTEN HELFEN ODER STÄNDIG EINEN REINWÜRGEN MAN WÜRDE DAS FALSCHE MACHEN ?! OH JA WENN MAN ES VERSTANDEN HAT OOO WIE EINFACH IST ES... MEIN GOTT EY

17Student20 aktiv_icon

14:07 Uhr, 15.10.2012

wenn es in deinem Kopf wirklich so ein Durcheinander ist...

. .

17Student20 aktiv_icon

14:46 Uhr, 15.10.2012

Berechnen Sie auch die Elemente

2 := 1

⊕ 1

Das ist doch schwarze Magie..

2 := 1

⊕

1 = 1

⊕

1 = 2

oder was ey-.-

hamma hart

Underfaker aktiv_icon

15:04 Uhr, 15.10.2012

Es geht hier weniger darum jemanden "einen reinzuwürgen" als viel mehr eine Struktur reinzubekommen, das machte es nämlich ungleich einfacher Verständnis aufzubauen.

Vorschlag:

Zunächst behandelst du/ihr das Assoziativgesetz der "Addition"

Z . z

a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c

Die Definition dieser Verknüpfung:

a \oplus b := a + b + 1

bassiert ja auf der Verknüpfung der wohl bekannten Addition der "normalen" rationalen Zahlen

(a +_{a l t} b +_{a l t} 1)

und hier wissen wir, dass die Körperaxiome gelten, da

ℚ

mit

+

und

\cdot

ein Körper bildet.

Setze nun in:

a \oplus (b \oplus c)

die Definirtion ein und verwende die schon bekannten Körperaxiome und forme es so um, dass du über die Definition wieder: (a

\oplus b) \oplus c

erhälst (Was du dafür brauchst kannst du dir ja aufschreiben indem du auch das vorher in die Definition einsetzt).

Hier wird so wenig gemacht, dass es schonmal schwer fällt zu verstehen "was das soll" und wie man auf sowas kommt, weil man sich kaum voran arbeitet eh man schon fertig ist.

So, probiere dich hieran, wenn du fertig bist/ Fragen hast kann man weiter sehen.

Mit Capslock und weniger freundlichen Worten sollte man auf jeden fall sparsam sein.

17Student20 aktiv_icon

15:25 Uhr, 15.10.2012

Ich setze dann mal ein:

a ⊕

(b

⊕

c) = (a

⊕

b)

⊕

c

a ⊕

(b

⊕

c) = (a + b + 1)

⊕

c

und wie soll ich da weiter vorgehen? da ist doch eine Variable die mehr ist

Underfaker aktiv_icon

15:31 Uhr, 15.10.2012

Ah ich sehe gerade, du wolltest etwas anderes darstellen, man sollte hier aber noch kein Gleichheitszeichen verwenden, da noch nciht sicher ist ob Gleichheit gilt, diese sollst du ja zeigen.

Beginne so: Seien

a, b, c \in ℚ z

z

(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)

Beweis:

(a \oplus b) \oplus c = (a + b + 1) \oplus c = . .

. Deine beiden Summanden lauten nun nicht mehr a und

b

sondern

(a + b + 1)

und

c,

es ist genauso anzuwenden.

17Student20 aktiv_icon

15:45 Uhr, 15.10.2012

zuerst hm..

a ⊕

(b

⊕

c) = (a

⊕

b)

⊕

c

a ⊕

(a + b + 1) = (b

⊕

c)

⊕

c

hä aber wieso zuerst

. .

. wir haben doch aber nix für

c

zum einsetzen... ?!

Underfaker aktiv_icon

15:50 Uhr, 15.10.2012

Es könnte ein Missverständnis gegeben haben, hast du meinen aktualisierten Post gesehen?

Mache hier weiter:

(a + b + 1) \oplus c = . .

Underfaker aktiv_icon

15:54 Uhr, 15.10.2012

Wenn es dir hilft substituiere

z := a + b + 1

Dann steht dort:

z \oplus c =

? und dann wandelst du das

z

wieder zurück

17Student20 aktiv_icon

15:57 Uhr, 15.10.2012

ne habe ich nicht gesehen aber ach du scheiße ich glaube es hat klick gemacht...

das ⊕ ist doch jetzt

+

ist doch eig egal was ich schreibe oder? jedenfalls

(a + b + 1)

⊕

c = (b + 1 + c)

⊕

a = (1 + c + a)

⊕

b = (b + c + a)

⊕

1 = (c + a + 1)

⊕

b

- - - \to = (a + b + 1)

⊕

c = (a

⊕

b)

⊕

c

oder?

Underfaker aktiv_icon

16:00 Uhr, 15.10.2012

Naja das was du geschriben hast, ist leider nicht so zielführend, am Ende steht genau der Anfang.

Du müsstest dort stehen haben:

(a \oplus b) \oplus c = . .

= a \oplus (b + c + 1) = a \oplus (b \oplus c)

Dazu empfielt es sich erstmal jedes

\oplus

zu ersetzen, denn

\oplus

ist nicht dasselbe wie

+

17Student20 aktiv_icon

16:03 Uhr, 15.10.2012

ou man jetzt weiß ich wieder nicht weiter öhm

Underfaker aktiv_icon

16:04 Uhr, 15.10.2012

Mach mal:

z \oplus c =

\to

Was ist das mit der Definition?
Dann schreibst du für das

z

hinterher wieder

(a + b + 1)

hin.

17Student20 aktiv_icon

16:08 Uhr, 15.10.2012

z

⊕

c = c

⊕

z

und jetzt das zurückeinsetzen?

Underfaker aktiv_icon

16:11 Uhr, 15.10.2012

Du sollst hier die Definition von ganz oben einsetzen, du sollst hier auch

\to \oplus

ersetzen.

Wenn

a \oplus b = a + b + 1

ist Was ist dann

z \oplus c =

17Student20 aktiv_icon

16:43 Uhr, 15.10.2012

+ b + 1) + c

(das zweite

+ c

mit kreis das plus)

Underfaker aktiv_icon

16:46 Uhr, 15.10.2012

Das ist das was oben schon steht, wenn du schon sinnvoll Hilfe möchtest musst du das auch annehmen.

Schreibe

z \oplus c =

\to

Schreibe es mir mit der Definition auf.
Dann schreibe es mir auf indem du

z

wieder ersetzt.

17Student20 aktiv_icon

15:12 Uhr, 16.10.2012

Ich blicke jetzt gar nicht mehr durch... Können wir bitte nochmal von vorne anfangen... bitte?... ich spring bald von der Brücke 3 Tage sitze ich jetzt schon dran... a ⊕

b := a + b + 1

Underfaker aktiv_icon

15:23 Uhr, 16.10.2012

Es ist doch

z \oplus c = z + c + 1

und nun

z

wieder zurück wandeln

\Rightarrow (a + b + 1) + c + 1

und nun hast du nur noch das herkömmliche "

+

" wie du es aus der Schule kennst und hier kannst du alle Rechenregeln anwenden die bekannt sind, also insbesondere alle Körperaxiome.

Du willst hierhin:

a \oplus (b \oplus c) = a + (b + c + 1) + 1

Schaffst du es von

(a + b + 1) + c + 1

nach

a + (b + c + 1) + 1

17Student20 aktiv_icon

15:27 Uhr, 16.10.2012

(a + b) + c = a + (b + c)

a ⊕

b := a + b + 1

(a

⊕

b

⊕

1)

⊕

c = a

⊕

(b

⊕

c

⊕

1)

a + b + 1 + c + 1 = a + b + c + 1 + 1

a + b + c + 2 = a + b + c + 2

(Lösung von einer Kommilitonin)

Underfaker aktiv_icon

15:35 Uhr, 16.10.2012

Naja, also das ist Kuddelmuddel der mit etwas Glück richtig aufgeschrieben sein könnte.

Seien

a, b, c \in ℚ

beliebig,

z

z

(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)

Beweis:

Nach Definition der Verknüpfung ist:

(a \oplus b) \oplus c = (a + b + 1) \oplus c = (a + b + 1) + c + 1

Da wir uns nun im ursprünglichen Körper über

ℚ

mit den herkömmlichen Verknüpfungen befinden, wissen wir das

+

sowohl assoziativ als auch kommutativ ist, dann gilt:

(a + b + 1) + c + 1 = a + b + 1 + c + 1 = a + b + c + 1 + 1 = a + (b + c + 1) + 1

und mit obiger Definition wieder:

a + (b + c + 1) + 1 = a + (b \oplus c) + 1 = a \oplus (b \oplus c)

:-)

Das ist nun sher Ausführlich mit Benennung, warum das gilt.

So macht man das ok?

17Student20 aktiv_icon

15:38 Uhr, 16.10.2012

Vielen Dank von uns allen ;-)

Underfaker aktiv_icon

15:39 Uhr, 16.10.2012

Willst du /wollt ihr nun erstmal mit diesem und gaaanz oben beschriebenen Beispiel, probieren den rest rauszubekommen?

17Student20 aktiv_icon

15:44 Uhr, 16.10.2012

Und bei der b?

2 := 1

⊕ 1

allgemein gilt ja

s (0) = 1, s (1) = 2, s (2) = 3 . .

.

Rekursive Def. der Addition:

n + 0 = n

sowie

n + s (m) = s (n + m)

Beweis:

1 + 1 = 1 + s (0) = s (1 + 0) = s (1) = 2

und

1 + 1 + 1 = 1 + s (1) = s (1 + 1) = s (2) = 3

17Student20 aktiv_icon

15:47 Uhr, 16.10.2012

Wir versuchn's jetzt und ich versuch's heute Abend zu posten... wir sind erst spät.. zu Hause

Underfaker aktiv_icon

15:56 Uhr, 16.10.2012

Wenn man bedenkt, das

a \oplus b = a + b + 1

ist, dann wird

2 \in ℚ_{n} := 1 \oplus 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \in ℚ_{a}

sein
Betrachtet man

3 \in ℚ_{n} := 1 \oplus 1 \oplus 1

ist das wegen oben

= (1 + 1 + 1) \oplus 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \in ℚ_{a}

Mache das eventuell noch mit

4 \in ℚ_{n}

und wie lautet der Verdacht? Mehr ist ja nicht zu tun.

Zu den restlichen Axiomen könnt ihr ja hier entsprechend posten wenn ihr soweit seid.

ps: Oben soll

ℚ_{a} := (ℚ, +, \cdot)

der schon aus der Schule bekannte Körper sein und

ℚ_{n} := (ℚ, \oplus, \otimes)

der neu definierte Körper

17Student20 aktiv_icon

16:47 Uhr, 16.10.2012

DANKE DANKE DANKE

!!!

Es sei

M

eine beliebige Teilmenge der reellen Zahlen. Wir definieren:

- M := {- a | a E M}

.

Zu zeigen ist, dass

- M

genau dann ein Supremum hat, wenn

M

ein Infimum hat. Im Falle der Existenz gilt:

\supset (- M) = -

inf M.

also die kleinste obere Schranke wird Supremum genannt (falls diese existiert)

man schreibt s=SUP

X

oder

s

ist also ein Supremum von

X

wenn folgendes gilt:

(1)

Für alle

x E X

ist

x

≤

s (

das heißt ja

s

ist obere Schranke von

X)

(2)

Ist

s' E K

und

s' < s,

so existiert ein

x E X

mit

s' < x

(das heißt es gibt keine kleinere obere Schranke)

Analog dazu heißt

t E K

untere Schranke einer Teilmenge

X

von

K,

wenn für alle

x E X

gilt:

t

≤

x;

die größte Untere Schranke bezeichnet man als Infimum von

X

und schreibt dafür INF X.

Underfaker aktiv_icon

16:49 Uhr, 16.10.2012

Also wenn das eine neue Frage sein soll, (ich sehe dort nämlich keine "Frage"), dann poste sie bitte hier in einem neuen Thread.

Man sollte aber bevor man sich hier in verschiedenste Themen stürzt, eines nach dem anderen abarbeiten.

17Student20 aktiv_icon

16:55 Uhr, 16.10.2012

Es ist ein Acount für 4 Nutzer alsio bitte im Plural :-P) ist okay

\land

jeder bearbeitet etwas jedenfalls versuchen wir es

; P

Underfaker aktiv_icon

17:00 Uhr, 16.10.2012

Das beinhaltet dann aber Gefahren/Nachteile. Achtet darauf dass ihr auch in den Dialog tretet den ihr begonnen habt und nicht jemand eine Frage beantwortet die schon jemand anderes von euch vorher bis zu einem gewissen Grad mit einem Forumsmitglied besprochen hat.

Beste Alternative: Jeder macht sich einen eigenen Account.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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